Polinomio di Čebyšëv

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In matematica, i polinomi di Čebyšëv sono le componenti di una successione polinomiale che inizia con i seguenti polinomi:

Traggono il loro nome dal matematico russo Pafnutij L'vovič Čebyšëv, che li studiò come soluzioni polinomiali della seguente equazione differenziale, anch'essa detta di Čebyšëv:

I polinomi che esaminiamo sono detti anche polinomi di Čebyšëv di prima specie, per distinguerli dai polinomi di un'altra successione polinomiale detti polinomi di Čebyšëv di seconda specie.

Evidentemente i polinomi di Čebyšëv hanno parità definita: i polinomi di grado pari sono funzioni pari della variabile , quelli di grado dispari sono funzioni dispari; questo si accorda con l'invarianza dell'equazione differenziale rispetto alla trasformazione che scambia con .

Una possibile definizione di questi polinomi è la seguente:

o in forma esplicita

dove con si intende la parte intera di .

Che sia un polinomio di grado in può essere visto osservando che è la parte reale di un membro della formula di De Moivre, e la parte reale dell'altro membro è un polinomio in e , dove tutte le potenze del sono pari e rimpiazzabili tramite l'identità .

Il polinomio ha esattamente radici semplici facenti parte dell'intervallo chiamate nodi di Čebyšëv.

Alternativamente i polinomi di Čebyšëv possono essere definiti tramite la relazione di ricorrenza:

Essi costituiscono una successione di polinomi ortogonali rispetto alla funzione peso , sull'intervallo , cioè, abbiamo

Questo succede perché (ponendo )

Come per le altre successioni di polinomi ortogonali, anche i polinomi di Čebyšëv possono essere definiti a partire da funzioni generatrici. Un esempio di una tale funzione generatrice è

I polinomi di Čebyšëv sono ampiamente utilizzati nell'area della approssimazione numerica.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Theodore J. Rivlin (1990): Chebyshev Polynomials. From Approximation Theory to Algebra and Number Theory, 2nd ed., J.Wiley, ISBN 0-471-62896-4

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