Polinomio di Bernoulli

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In matematica, i polinomi di Bernoulli si incontrano nello studio di molte funzioni speciali e in particolare della funzione zeta di Riemann e della funzione zeta di Hurwitz. Questo in gran parte è dovuto al fatto che essi costituiscono la sequenza di Sheffer relativa all'ordinario operatore di derivazione. Contrariamente alle successioni di polinomi ortogonali, la successione dei polinomi di Bernoulli è caratterizzata dal fatto che il numero delle intersezioni con l'asse delle x nell'intervallo unitario non cresce illimitatamente al crescere del grado dei polinomi. Al crescere del grado i polinomi di Bernoulli, sottoposti ad appropriate omotetie, approssimano le funzioni seno e coseno.

Funzioni generatrici[modifica | modifica wikitesto]

La funzione generatrice dei polinomi di Bernoulli è

.

La funzione generatrice dei polinomi di Eulero è invece

Caratterizzazione mediante un operatore differenziale[modifica | modifica wikitesto]

I polinomi di Bernoulli si possono anche definire come

dove D := d/dx denota la differenziazione rispetto alla x e la frazione va sviluppata come serie formale di potenze.

Formula esplicita[modifica | modifica wikitesto]

Una formula esplicita per i polinomi di Bernoulli è la seguente

.

Si osserva la rilevante somiglianza con l'espressione mediante la serie globalmente convergente per la funzione zeta di Hurwitz. In effetti si ha

dove denota la zeta di Hurwitz; in un certo senso, la zeta di Hurwitz estende i polinomi di Bernoulli ai valori non interi della n.

Una formula esplicita per i polinomi di Eulero è data da

.

I numeri di Bernoulli e i numeri di Eulero[modifica | modifica wikitesto]

I numeri di Bernoulli sono dati da .

A loro volta i numeri di Eulero sono dati da .

Espressioni esplicite per i polinomi dei gradi minori[modifica | modifica wikitesto]

I primi componenti della successione dei polinomi di Bernoulli sono:

.

I polinomi di Eulero dei gradi più bassi sono invece

Differenze[modifica | modifica wikitesto]

I polinomi di Bernoulli e quelli di Eulero ubbidiscono molte relazioni fornite dal calcolo umbrale:

.

Derivate[modifica | modifica wikitesto]

Ciascuna delle due successioni di polinomi è una sequenza polinomiale e più precisamente una sequenza di Appel:

.

Traslazioni[modifica | modifica wikitesto]

Queste identità sono equivalenti ad affermare che ciascuna di queste sequenze polinomiali è una sequenza di Appel. (Un altro esempio di queste sequenze è fornito dai polinomi di Hermite.)

Simmetrie[modifica | modifica wikitesto]

.

Serie di Fourier[modifica | modifica wikitesto]

La serie di Fourier dei polinomi di Bernoulli è anche una serie di Dirichlet e un caso speciale di funzione zeta di Hurwitz

Inversione[modifica | modifica wikitesto]

Può essere utile esprimere le potenze della variabile come combinazioni lineari dei polinomi di Bernoulli. Specificamente si ha

.

Queste uguaglianze e le espressioni esplicite dei polinomi di Bernoulli vanno viste come le identità di collegamento tra le due basi dello spazio vettoriale dei polinomi fornite dalle potenze della variabile e dai polinomi di Bernoulli.

Collegamento con i fattoriali decrescenti[modifica | modifica wikitesto]

Un'altra coppia di successioni di identità di collegamento fra basi dello spazio vettoriale dei polinomi riguarda i polinomi di Bernoulli e i fattoriali decrescenti. I polinomi di Bernoulli sono espressi come combinazioni lineari di fattoriali decrescenti dalle

dove e

denota il numero di Stirling di seconda specie. Viceversa i fattoriali decrescenti sono espressi come combinazioni lineari di polinomi di Bernoulli:

dove

denota il numero di Stirling di prima specie.

Teoremi di moltiplicazione[modifica | modifica wikitesto]

Questi teoremi di moltiplicazione sono stati dati da Joseph Ludwig Raabe nel 1851:

Integrali[modifica | modifica wikitesto]

Integrali indefiniti

Integrali definiti

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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