Polinomi di Jacobi

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In matematica i Polinomi di Jacobi costituiscono una sequenza polinomiale a due parametri e più precisamente costituiscono una successione di polinomi ortogonali a due parametri. Il loro nome ricorda il matematico tedesco Carl Jacobi (1804-1851).

Definizioni[modifica | modifica sorgente]

Essi possono definirsi in molti modi equivalenti.

Mediante una serie ipergeometrica che in effetti si riduce a un polinomio:a

P_n^{(\alpha,\beta)}(z) := \frac{(\alpha+1)^{\underline{n}}}{n!}
\,_2F_1\left(-n,n+\lambda,\alpha+1;\frac{1-z}{2}\right)

dove \underline{n} denota il fattoriale decrescente e dove \,\lambda:=\alpha+\beta+1.

Mediante la variante della precedente:

P_n^{(\alpha,\beta)}(z) := \frac{(-1)^n(\beta+1)^{\underline{n}}}{n!}
\,_2F_1\left(-n,n+\lambda,\alpha+1;\frac{1+z}{2}\right)

Mediante una formula alla Rodriguez:

P_n^{(\alpha,\beta)}(z) := \frac{1}{2^n n!}\, (1-z)^{-\alpha}(1+z)^{-\beta} \,
\frac{d^n}{dz^n} \left[ (1-z)^{\alpha+n}(1+z)^{\beta+n} \right]

Mediante la espressione polinomiale esplicita

P_n^{(\alpha,\beta)}(z) := \frac{1}{2^n} \sum_{k=0}^n {n+\alpha \choose k} {n+\beta \choose n-k} (z-1)^{n-k} (z+1)^k

Come soluzioni polinomiali dell'equazione differenziale di Jacobi.

Per \alpha,\beta > -1 si possono definire come i componenti della successione di polinomi ortogonali nell'intervallo [-1,+1] rispetto alla funzione peso (1-x)^\alpha(1+x)^\beta. La corrispondente relazione di ortogonalità è

\int_{-1}^1 dx\, (1-x)^\alpha (1+x)^\beta \, P_m^{\alpha,\beta}(x) P_n^{\alpha,\beta}(x) = 0 ~\mbox{se}~m\neq n
=\frac{2^\lambda\,\Gamma(n+\alpha+1)\,\Gamma(n+\beta+1)} {(2n+\lambda)\,n!\,\Gamma(n+\lambda)}
~~\mbox{se}~m=n\neq 0
=\frac{2^\lambda\,\Gamma(\alpha+1)\,\Gamma(\beta+1)}{\Gamma(\lambda+1)}
~~\mbox{se}~m=n=0 .

Polinomi di Jacobi shiftati[modifica | modifica sorgente]

Si tratta di varianti dei precedenti abbastanza modeste ma molto usate; sono definiti come

R_n^{\alpha,\beta}(z) := P_n^{(\alpha,\beta)}(2z-1) .

Naturalmente anche questi costituiscono una successione di polinomi ortogonali e la relazione di ortogonalità è:

\int_0^1 dx\, (1-x)^\alpha x^\beta \, R_m^{\alpha,\beta}(x) R_n^{\alpha,\beta}(x) = 0 ~\mbox{se}~m\neq n
=\frac{\Gamma(n+\alpha+1)\,\Gamma(n+\beta+1)}{(2n+\lambda)\,n!\,\Gamma(n+\lambda)}
~~\mbox{se}~m=n\neq 0
=\frac{\Gamma(\alpha+1)\,\Gamma(\beta+1)}{\Gamma(\lambda+1)}
~~\mbox{se}~m=n=0

Collegamenti con altri polinomi speciali[modifica | modifica sorgente]

Per \alpha = \beta = 0 si riducono ai polinomi di Legendre.

Per \alpha = \beta si riducono ai polinomi di Gegenbauer:

C_n^{(\alpha+1/2)}(z) = \frac{(2\alpha+1)^{\underline{n}}}\, {(\alpha+1){\underline{n}}} \,P_n^{(\alpha,\beta)}(z) .

Per \alpha = \beta = -1/2 si riducono ai polinomi di Chebyshev di primo genere:

T_n(z) = \frac{n!}{(1/2)^{\underline{n}}} \,P_n^{(-1/2,-1/2)}(z) .


Espressioni esplicite[modifica | modifica sorgente]

I primi polinomi della successione graduale sono:

P_0^{(\alpha,\beta)}(z) = 1
P_1^{(\alpha,\beta)}(z) = \frac{1}{2} \left[ 2(\alpha+1) + 
(\alpha+\beta+2)(z-1)\right]
P_2^{(\alpha,\beta)}(z) = \frac{1}{8} \left[ 4(\alpha+1)(\alpha+2) + 
4(\alpha+\beta+3)(\alpha+2)(z-1) + (\alpha+\beta+3)(\alpha+\beta+4) (z-1)^2\right]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

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