Polinomi di Jacobi

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In matematica i Polinomi di Jacobi costituiscono una sequenza polinomiale a due parametri e più precisamente costituiscono una successione di polinomi ortogonali a due parametri. Il loro nome ricorda il matematico tedesco Carl Jacobi (1804-1851).

Definizioni[modifica | modifica wikitesto]

Essi possono definirsi in molti modi equivalenti.

Mediante una serie ipergeometrica che in effetti si riduce a un polinomio:a

dove denota il fattoriale decrescente e dove .

Mediante la variante della precedente:

Mediante una formula alla Rodriguez:

Mediante la espressione polinomiale esplicita

Come soluzioni polinomiali dell'equazione differenziale di Jacobi.

Per si possono definire come i componenti della successione di polinomi ortogonali nell'intervallo [-1,+1] rispetto alla funzione peso . La corrispondente relazione di ortogonalità è

.

Polinomi di Jacobi shiftati[modifica | modifica wikitesto]

Si tratta di varianti dei precedenti abbastanza modeste ma molto usate; sono definiti come

.

Naturalmente anche questi costituiscono una successione di polinomi ortogonali e la relazione di ortogonalità è:

Collegamenti con altri polinomi speciali[modifica | modifica wikitesto]

Per si riducono ai polinomi di Legendre.

Per si riducono ai polinomi di Gegenbauer:

.

Per si riducono ai polinomi di Chebyshev di primo genere:

.


Espressioni esplicite[modifica | modifica wikitesto]

I primi polinomi della successione graduale sono:

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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