Numeri di Bernoulli

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Jakob Bernoulli. Summae Potestatum in Ars Conjectandi, 1713

In matematica, i numeri di Bernoulli [1] costituiscono una successione di numeri razionali che gioca un ruolo importante in vari problemi. Accanto ad essi conviene prendere in considerazione i polinomi di Bernoulli che si possono considerare una loro generalizzazione.


Genesi storica[modifica | modifica wikitesto]

Questi numeri furono individuati quasi contemporaneamente ma indipendentemente da Kowa Seki nel 1712 e da Jakob Bernoulli nel 1713[2]. Bernoulli li tratta nella sua opera Ars Conjectandi, in relazione con le forme chiuse per le somme di potenze di interi successivi

per valori interi positivi fissati di m.

Queste forme chiuse erano state individuate già nel 1631 da Johann Faulhaber[3] cui Bernoulli fa riferimento. Dopo la sua morte nel 1721 Abraham de Moivre e Leonardo Eulero diede ai numeri il nome con il quale sono tuttora conosciuti[2].

Le precedenti somme sono esprimibili per ogni m come polinomi in n di grado m+1. La formula rivelata e forse scoperta[4] ma non dimostrata da Jacob Bernoulli, scritta in notazione moderna utilizzando la notaziome del fattoriale decrescente, è:

Bernoulli però nel suo trattato non considerava quelli che oggi per noi sono invece i primi due numeri della sequenza numerica che porta il suo nome per cui oggi preferiamo esprimere quella stessa formula nel seguente modo

dove si è utilizzata la variante dei numeri di Bernoulli

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

  • Nel caso m = 1 abbiamo
  • Nel caso m = 4 abbiamo

Definizione ricorsiva[modifica | modifica wikitesto]

I numeri di Bernoulli, nella variante , possono essere calcolati usando la seguente formula di ricorrenza:

che equivale a:

da cui la forma esplicita:

L'algoritmo di Ada Lovelace[modifica | modifica wikitesto]

Nella nota G delle Note di Ada Lovelace sull'analytical engine del 1842[5] è stato descritto per la prima volta un algoritmo per la costruzione dei numeri di Bernoulli con una macchina in grado di eseguire calcoli automatici. L'Algoritmo di Ada Lovelace per i numeri di Bernoulli si basa sulla formula ricorsiva che abbiamo visto anche se per riconoscerla si deve tener conto che anche ai suoi tempi, come in quelli di Bernoulli, non erano considerati i primi due numeri della sequenza[6].

Tavola dei numeri di Bernoulli[modifica | modifica wikitesto]

Si può dimostrare che Bn = 0 per tutti gli n dispari maggiori di 1.

I primi valori diversi da 0 sono i seguenti:

   n    0 1 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Bn 1 ±1/2 [7] 1/6 -1/30 1/42 -1/30 5/66 -691/2730 7/6 -3617/510 43867/798 -174611/330

I numeri di Bernoulli compaiono anche negli sviluppi in serie di Taylor della tangente e della tangente iperbolica, nella formula di Euler-Maclaurin e nelle espressioni di certi valori della funzione zeta di Riemann.

Funzioni generatrici[modifica | modifica wikitesto]

I numeri di Bernoulli possono anche essere definiti usando delle funzioni generatrici esponenziali sviluppate in serie di Maclaurin per la variante della sequenza bernoulliana con abbiamo:

mentre, sommando x ai due membri della precedente[8], troviamo la funzione generatrice della variante con

Queste possono considerarsi uguaglianze fra serie formali di potenze; in questo caso per la convergenza della serie si chiede che x abbia valore assoluto minore di 2π (il raggio di convergenza della serie stessa).


Numeri di Bernoulli ottenuti dal triangolo di Tartaglia[modifica | modifica wikitesto]

dove è il determinante di una matrice di ordine n parzialmente coincidente con il triangolo di Tartaglia i cui elementi sono definiti da

Per la dimostrazione si rimanda alla bibliografia[9]. Esempio:

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Attenzione: la notazione viene utilizzata anche per denotare i numeri di Bell; per distinguerli da questi ultimi talora per i numeri di Bernoulli si usano le notazioni .
  2. ^ a b Fiorentini
  3. ^ MAA
  4. ^ Ars Conjectandi 1713,  in bibliografia p.97
  5. ^ Nota G, in bibliografia
  6. ^ Maecla 2017, capitolo "Identificazione della formula"
  7. ^ Si considerano entrambe le sequenze. Quella con il segno negativo dà luogo ai "primi numeri di Bernoulli" (numeratore/denominatore), quella con il segno positivo caratterizza i "secondi numeri di Bernoulli" (numeratore/denominatore)detti anche gli "gli originali numeri di Bernoulli". Dato che per n>1 i valori degli indici dispari si annullano, la moltiplicazione permette di passare agevolmente dall'una all'altra sequenza
  8. ^ Maecla 2017,  capitolo: "Dimostrazione per via analitica"
  9. ^ Maecla 2008

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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