Congettura di Agoh-Giuga

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In teoria dei numeri, la congettura di Agoh-Giuga, correlata ai numeri di Bernoulli Bk, afferma che p è un numero primo se e solo se

Questa formulazione della congettura è dovuta a Takashi Agoh (1990); una formulazione che (come è stato dimostrato) è ad essa equivalente fu formulata nel 1950 da Giuseppe Giuga, e afferma che p è primo se e solo se

È una semplice conseguenza del Teorema di Eulero-Fermat che un numero primo soddisfa quest'ultima eguaglianza. Un eventuale controesempio alla congettura sarebbe dunque un numero , non primo, per cui valga

Giuga dimostrò che un eventuale controesempio dovrebbe essere necessariamente un numero di Carmichael, e divisibile per almeno 8 fattori primi distinti. (Per proprietà generali dei numeri di Carmichael, dovrebbe essere anche privo di quadrati, e inoltre se un numero primo divide , allora divide .) Giuga verificò la congettura per n < 101000; Edmondo Bedocchi nel 1985 arrivò ad n < 101700, e nel 1996 Borwein ed altri si spinsero fino a n < 1013800. Laerte Sorini, infine, in un lavoro del 2001 dimostrò che un eventuale contresempio alla congettura dovrebbe essere un numero n maggiore di  1036067 che rappresenta il limite ipotizzato da Bedocchi per la tecnica di dimostrazione indicata da Giuga alla sua stessa congettura.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Agoh T. "On Giuga's conjecture" Manuscripta Math., 87(4), 501-510 (1995).
  • Bedocchi E. "Nota ad una congettura sui numeri primi", Riv. Mat. Univ. Parma, (4) 11 (1985), 229-236.
  • Borwein D., Borwein J. M., Borwein P. B., and Girgensohn R. "Giuga's Conjecture on Primality", Amer. Math. Monthly, 103, 40-50, (1996). pdf
  • Borwein J.M., Skerritt M. and Maitland C. "Computation of a lower bound to Giuga's primality conjecture." Integers 13 (2013).
  • Giuga G. "Su una presumibile proprietà caratteristica dei numeri primi", Ist. Lombardo Sci. Lett. Rend. A, 83, 511-528 (1950).
  • Sorini L. "Un Metodo Euristico per la Soluzione della Congettura di Giuga", Facoltà di Economia, Università degli Studi di Urbino Carlo Bo, Quaderni di Economia, Matematica e Statistica, n. 68, Ottobre (2001).


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