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Algoritmo di Ada Lovelace per i numeri di Bernoulli

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L'algoritmo di Ada Lovelace (nata Ada Byron) permette di calcolare i numeri di Bernoulli. Questo algoritmo è noto soprattutto per essere stato il primo programma della storia dell'informatica.

Nota G, diagramma di Ada Lovelace: fu il primo algoritmo per computer pubblicato

La formula utilizzata

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Come si vede dal diagramma in figura e dal testo relativo disponibile in lingua inglese[1], Ada Lovelace nell'implementare il suo algoritmo si servì della seguente formula:

dove abbiamo sostituito gli indici dispari usati da Ada con i pari secondo la moderna notazione dei Numeri di Bernoulli. Utilizzando il fattoriale decrescente possiamo scrivere in forma compatta:

essendo il la precedente equivale a

Le fonti concordano[2] con Ada stessa[1], sul fatto che questa formula derivi dalla funzione generatrice e anche nel fornire solo un accenno di dimostrazione per giustificarlo:


La funzione generatrice può considerarsi una uguaglianza fra serie formali di potenze o fra funzioni analitiche; in questo caso per la convergenza della serie si chiede che x abbia valore assoluto minore di 2π (il raggio di convergenza della serie stessa).

È sicuramente più semplice mostrare invece che la formula usata dalla Byron non è altro che la consueta formula di ricorrenza:[3]

resa più efficiente per il calcolo automatico. Per questo è sufficiente notare che:

e che

Come si può controllare nella nota G in figura questa è la funzione utilizzata da Ada dato che ai suoi tempi, come aveva indicato anche Jacob Bernoulli nel suo "Ars Conjectandi" più di un secolo prima i numeri di Bernoulli cominciavano dopo i primi due attuali che quindi vanno sostituiti con i loro valori numerici per ottenere la formula usata. Nella nota Ada scrive che chiaramente corrispondono ai nostri .

  1. ^ a b Lovelace.
  2. ^ Adity Kar, Ada Lovelace, su people.maths.ox.ac.uk (archiviato dall'url originale il 3 luglio 2017).
  3. ^ SUPSI.

Voci correlate

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