Fattoriale crescente

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In matematica, per fattoriale crescente di con fattori si intende il prodotto della forma

.

Qui denota un intero naturale, mentre può denotare un numero reale o complesso, oppure una variabile formale o anche un elemento generico di un anello (in tal caso gli interi si identificano con i multipli dell'elemento unità dell'anello).

Per denotare la precedente espressione si usano varie notazioni:

La prima notazione spesso utilizzata, soprattutto per studiare funzioni speciali, viene detta simbolo di Pochhammer, in quanto è stata introdotta dal matematico tedesco Leo August Pochhammer. Taluni, in combinatorica, usano il simbolo di Pochhammer per denotare il fattoriale decrescente di con fattori

 ;

questa espressione usando il simbolo di Pochhammer sopra definito sarebbe data da

Una notazione alternativa utilizzata da Ronald L. Graham, Donald E. Knuth e Oren Patashnik nel loro libro Concrete Mathematics esprime rispettivamente il fattoriale crescente come

e il fattoriale decrescente come

Essa ha due pregi: distinguersi nettamente da altre notazioni ed evidenziare il parallelismo tra le due costruzioni.

Per fattoriale crescente e fattoriale decrescente danno il prodotto vuoto, cioè

Sia il fattoriale crescente che il fattoriale decrescente possono essere espressi mediante un coefficiente binomiale:

Quindi le numerose identità riguardanti i coefficienti binomiali conducono a corrispondenti identità per i fattoriali crescenti e decrescenti.

Collegamento con il calcolo umbrale[modifica | modifica wikitesto]

I fattoriali crescenti e i fattoriali decrescenti possono essere interpretati come polinomi nella variabile e le due successioni

come successioni di polinomi. Questi hanno ruoli particolari nelle formule che riguardano l'azione sui polinomi di operatori come l'operatore alle differenze in avanti , formule corrispondenti al teorema di Taylor del calcolo infinitesimale indotta dall'azione dell'operatore derivazione. In queste formule e in molte altre circostanze i fattoriali crescenti e i decrescenti nel calcolo delle differenze finite giocano il ruolo che i polinomi giocano nel calcolo differenziale. Si osservi ad esempio la somiglianza fra la

e la

(dove denota la derivata rispetto alla variabile ). La teoria che consente di trattare sistematicamente e rigorosamente queste somiglianze è l'odierno calcolo umbrale. Più specificamente le teorie che riguardano relazioni di questo genere coinvolgenti polinomi come i fattoriali crescenti e i decrescenti sono la teoria delle sequenze polinomiali di tipo binomiale e la teoria delle successioni di Sheffer.

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