Sequenza di Sturm

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Jump to navigation Jump to search

Si definisce sequenza di Sturm su un intervallo , dove e/o possono essere infiniti, una sequenza di polinomi

tale che

  • non si annulla mai su
  • Per ogni zero di con si ha

Teorema[modifica | modifica wikitesto]

Per definiamo la funzione come il numero di volte che i termini della sequenza cambiano segno, ignorando gli zeri. Se è finita allora definiamo come dove è tale che per e per ogni e definiamo analogamente . Se allora definiamo come il numero di volte che i termini della sequenza cambiano segno, e analogamente definiamo .

È possibile esprimere il teorema:

Sia una sequenza di Sturm sull'intervallo allora se né e né è uguale a zero,

dove si è usato l'indice di Cauchy.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo spostarsi sull'asse dei reali, il valore di non cambia quando attraversa uno zero di con a causa della seconda proprietà delle sequenze di Sturm, quindi cambia solo quando attraversa uno zero di . Se è uno zero di allora non è uno zero di sempre a causa della seconda proprietà, per cui ha lo stesso segno sia alla destra di che alla sinistra.

Se ha molteplicità pari allora non cambia di segno quando attraversa e di conseguenza non cambia, invece se ha molteplicità dispari allora aumenta di 1 se e hanno lo stesso segno alla sinistra di , viceversa diminuisce di 1 se e hanno segno opposto alla sinistra di . In modo corrispondente per gli zeri con moltiplicità dispari l'indice di Cauchy riceve un contributo -1 se e hanno lo stesso segno alla sinistra di , o un contributo +1 se e hanno segno opposto alla sinistra di .

Matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica