Funzione zeta di Hurwitz

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In matematica, in particolare in teoria analitica dei numeri, la funzione zeta di Hurwitz è una funzione zeta che deve il suo nome al matematico tedesco Adolf Hurwitz. La funzione è definita attraverso la serie

se e . Chiaramente, se la funzione zeta di Hurwitz coincide con la funzione zeta di Riemann, cioè .

Allo stesso modo della funzione zeta di Riemann, può essere prolungata analiticamente a una funzione olomorfa sull'intero piano complesso, ad eccezione di .

Funzione zeta di Hurwitz con . Il grafico è stato fatto con matplotlib utilizzando una versione del metodo della colorazione del dominio.[1]

Prolungamento analitico[modifica | modifica wikitesto]

Funzione zeta di Hurwitz con .

Se , si può definire la funzione per mezzo della seguente equazione

dove il contorno è una linea chiusa attorno all'asse reale negativo.

Si può essere quindi prolungare analiticamente a una funzione meromorfa, con il punto come unico polo semplice e di residuo . Il termine costante è dato da

dove è la funzione Gamma e la funzione digamma.

Rappresentazioni[modifica | modifica wikitesto]

Rappresentazione in serie[modifica | modifica wikitesto]

Funzione zeta di Hurwitz con parametro e .

Nel 1930, Helmut Hasse[2] fornì una rappresentazione in serie di Newton convergente definita per reale e :

Questa serie converge uniformemente in ogni sottoinsieme compatto del semipiano di a una funzione intera. SI comprende che la somma interna è la -esima differenza in avanti di , cioè

dove è l'operatore di differenza in avanti. Quindi, si può scrivere

Altre serie globalmente convergenti sono le seguenti

dove sono i numeri armonici, sono i numeri di Stirling del primo tipo, è il simbolo di Pochhammer, sono i coefficienti di Gregory, sono i coefficienti di Gregory di ordine superiore e sono i numeri di Cauchy del secondo tipo (, , ,...), vedere l'articolo di Blagouchine[3].

Rappresentazione integrale[modifica | modifica wikitesto]

La funzione ha una rappresentazione integrale in termine della trasformata di Mellin,

per e

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Formula di Hurwitz[modifica | modifica wikitesto]

La formula di Hurwitz afferma che

dove

è la rappresentazione della funzione valida per e , e inoltre indica il polilogaritmo.

Equazione funzionale[modifica | modifica wikitesto]

L'equazione funzionale mette in relazioni i valori della funzione di Hurwitz sulla parte destra e sinistra del piano complesso. Per interi, per ogni valore di si ha

Alcune somme finite[modifica | modifica wikitesto]

Le seguenti somme finite sono strettamente collegate all'equazione funzionale, alcune delle quali possono essere valutate in forma chiusa

dove è un intero positivo maggiore di e è un numero complesso.[4].

Trasformata di Fourier[modifica | modifica wikitesto]

La trasformata discreta di Fourier della funzione zeta di Hurwitz rispetto all'ordine è la funzione chi di Legendre.

Valori razionali[modifica | modifica wikitesto]

La funzione zeta di Hurwitz calcolata nei numeri razionali compare in molte identità impressionanti.[5] In particolare, in termini dei polinomi di Eulero :

e

Inoltre,

vale per ogni . e sono definite per mezzo della funzione chi di Legendre ,

e

Per valori interi di , possono essere espressi in termini dei polinomi di Eulero. Si possono derivare queste relazioni utilizzando l'equazione funzionale insieme alla formula di Hurwitz.

Espansioni in serie[modifica | modifica wikitesto]

Serie di Taylor[modifica | modifica wikitesto]

La derivata della funzione zeta di Hurwitz rispetto alla seconda variabile è una traslazione:

Perciò, la serie di Taylor ha la caratteristica forma umbrale:

Alternativamente,

con .[6]

Strettamente connessa è la formula di Stark–Keiper:

che vale per intero e arbitrario. Vedere la formula di Faulhaber per una relazione simile sulle somme finite di potenze di interi.

Serie di Laurent[modifica | modifica wikitesto]

L'espansione in serie di Laurent può essere utilizzata per definire le costanti di Stieltjes che compaiono nella serie

In particolare, e.

Legami con altre funzioni[modifica | modifica wikitesto]

Legame con i polinomi di Bernoulli[modifica | modifica wikitesto]

La funzione definita precedentemente generalizza i polinomi di Bernoulli:

dove indica la parte reale di . Alternativamente,

In particolare, la relazione vale per e si ha

Legame con la funzione theta di Jacobi[modifica | modifica wikitesto]

Se è la funzione theta di Jacobi, allora

vale per e complesso, ma non intero. Per intero , la formula diventa

dove è la funzione zeta di Riemann. Si noti che questa ultima forma è l'equazione funzionale della funzione zeta di Riemann, come scritta in origine da Riemann. La distinzione tra intero e non tiene conto del fatto che la funzione theta di Jacobi converge alla funzione delta di Dirac in se .

Legame con le funzioni L di Dirichlet[modifica | modifica wikitesto]

Se l'argomento è un numero razionale, si può esprimere la funzione zeta di Hurwitz come combinazione lineare di funzioni L di Dirichlet e vice versa: La Zeta di Hurwitz coincide con la Zeta di Riemann quando , se è uguale a ,[7] e se con , e , allora[8]

dove la somma è sui caratteri di Dirichlet mod . Nella direzione opposta si ha la combinazione lineare[7]

Esiste anche il teorema di moltiplicazione

di cui una utile generalizzazione è la relazione di distribuzione[9]

(Questa ultima forma è valida solo se è un numero naturale e non lo è.)

Zeri[modifica | modifica wikitesto]

Se , la funzione zeta di Hurwitz si riduce alla funzione zeta di Riemann; se si riduce alla funzione zeta di Riemann moltiplicata per una semplice funzione di variabile complessa (vide supra), riconducendosi in ogni caso al difficile studio degli zeri della Zeta di Riemann. In particolare, non esistono zeri con parte reale maggiore o uguale a 1. Tuttavia, se e , allora esistono degli zeri della funzione zeta di Hurwitz nella fascia per ogni reale positivo. Questo fatto fu dimostrato da Davenport e Heilbronn per razionale o trascendente,[10] e da Cassels per gli irrazionali algebrici.[7][11]

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

La funzione zeta di Hurwitz compare in svariate discipline. Più comunemente, si presenta nella teoria dei numeri, dove il suo studio è il più profondo e sviluppata. Tuttavia, compare anche nello studio dei frattali e dei sistemi dinamici. Nella statistica applicata, è presente nella legge di Zipf e in quella di Zipf–Mandelbrot. Nella fisica delle particelle, compare in una formula di Julian Schwinger,[12] fornendo un risultato esatto della velocità di produzione di coppia di un elettrone di Dirac.

Casi speciali e generalizzazioni[modifica | modifica wikitesto]

La funzione zeta di Hurwitz con un intero positivo è collegata alla funzione poligamma:

Per interi negativi , i valori sono collegati ai polinomi di Bernoulli:[13]

La funzione zeta di Barnes generalizza la Zeta di Hurwitz come

dove e hanno parte reale positiva e .

Un'ulteriore generalizzazione viene dalla funzione trascendente di Lerch:

e quindi

Infine compaiono la funzione ipergeometrica

dove

e la funzione G di Meijer

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ http://nbviewer.ipython.org/github/empet/Math/blob/master/DomainColoring.ipynb
  2. ^ Helmut Hasse, Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ-Reihe, in Mathematische Zeitschrift, vol. 32, nº 1, 1930, pp. 458–464, DOI:10.1007/BF01194645, JFM 56.0894.03.
  3. ^ Iaroslav V. Blagouchine, Three Notes on Ser's and Hasse's Representations for the Zeta-functions, in Integers (Electronic Journal of Combinatorial Number Theory), 18A, 2018, pp. 1–45, Bibcode:2016arXiv160602044B, arXiv:1606.02044.
  4. ^ Vedere ad esempio l'Appendice B di I.V. Blagouchine, A theorem for the closed-form evaluation of the first generalized Stieltjes constant at rational arguments and some related summations, in Journal of Number Theory, vol. 148, Elsevier, 2014, p. 537–592, DOI:10.1016/j.jnt.2014.08.009, arXiv:1401.3724.
  5. ^ Fornito da Djurdje Cvijović e Jacek Klinowski, Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments, in Mathematics of Computation, vol. 68, nº 228, 1999, pp. 1623–1630, Bibcode:1999MaCom..68.1623C, DOI:10.1090/S0025-5718-99-01091-1.
  6. ^ Linas Vepstas, An efficient algorithm for accelerating the convergence of oscillatory series, useful for computing the polylogarithm and Hurwitz zeta functions, in Numerical Algorithms, vol. 47, 2007, pp. 211–252, Bibcode:2008NuAlg..47..211V, DOI:10.1007/s11075-007-9153-8, arXiv:math/0702243.
  7. ^ a b c Davenport (1967) p.73
  8. ^ David Lowry, Hurwitz Zeta is a sum of Dirichlet L functions, and vice-versa, in mixedmath. URL consultato il 21 giugno 2018.
  9. ^ Daniel S. Kubert e Serge Lang, Modular Units, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 244, Springer-Verlag, 1981, p. 13, ISBN 0-387-90517-0, Zbl 0492.12002.
  10. ^ H. Davenport e H. Heilbronn, On the zeros of certain Dirichlet series, in Journal of the London Mathematical Society, vol. 11, nº 3, 1936, pp. 181–185, DOI:10.1112/jlms/s1-11.3.181, Zbl 0014.21601.
  11. ^ J. W. S. Cassels, Footnote to a note of Davenport and Heilbronn, in Journal of the London Mathematical Society, vol. 36, nº 1, 1961, pp. 177–184, DOI:10.1112/jlms/s1-36.1.177, Zbl 0097.03403.
  12. ^ J. Schwinger, On gauge invariance and vacuum polarization, in Physical Review, vol. 82, nº 5, 1951, pp. 664–679, Bibcode:1951PhRv...82..664S, DOI:10.1103/PhysRev.82.664.
  13. ^ Apostol (1976) p.264

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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