Polo (analisi complessa)

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Il modulo della funzione Gamma con alcuni poli.

In analisi complessa per polo di una funzione olomorfa  f(z) , si intende una singolarità isolata z_0 della funzione per cui

\lim_{z\to z_0} |f(z)| = \infty.

Il polo si distingue dalla singolarità eliminabile e dalla singolarità essenziale, per le quali tale limite rispettivamente è finito e non esiste.

La conoscenza delle caratteristiche dei poli di una funzione olomorfa consente di determinare molte delle sue caratteristiche; inoltre lo studio dei poli è fondamentale nel calcolo dei residui.

Serie di Laurent[modifica | modifica sorgente]

Una definizione equivalente può essere data tramite serie di Laurent. Una singolarità isolata  z_0 è un polo se e solo se lo sviluppo locale in serie di Laurent è del tipo

f (z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n \left ( z-z_0 \right )^n + \frac {b_1}{z-z_0} + \cdots + \frac {b_k}{\left( z-z_0 \right)^k}

con b_k\neq 0 , per qualche k>0 .
In altre parole, una singolarità isolata è un polo se e solo se la parte principale della serie di Laurent in un intorno bucato della singolarità è costituita da un numero finito di termini, cioè se i coefficienti con apice i negativo sono un numero finito k diverso da zero:

 f(z) = \sum_{n=-k}^{\infty} a_n \left ( z-z_0 \right )^n

Ordine del polo[modifica | modifica sorgente]

L'ordine del polo è il numero naturale  k di termini che costituiscono la parte principale della serie di Laurent. Analogamente,  z_0 è un polo se per qualche  h>0 il limite:

b_h = \lim_{z \rightarrow z_0} f(z) \left ( z-z_0 \right )^h

esiste, è finito ed è diverso da zero. In questo caso la funzione ha nel punto  z_0 un polo di ordine  h.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Una funzione

 f(z) = \frac {p(z)}{q(z)}

dove  p e  q sono polinomi senza radici in comune (quindi la funzione è ridotta ai minimi termini), è definita su

\mathbb C\setminus\{z_1,\ldots,z_n\}

dove  z_1,\ldots,z_n sono le radici di q . Ciascuno di questi punti è un polo, il cui ordine è pari alla molteplicità della radice. Ad esempio,

 f(z) = \frac {z+1}{z(z-1)^2}

ha un polo di ordine 1 in 0 ed un polo di ordine 2 in 1.

La funzione

 f(x) = \frac{1}{\sin x}

è definita su

\mathbb C\setminus \{k\pi\ |\ k\in\mathbb Z\}

ed ha un polo di ordine uno su ogni punto k\pi. Ha quindi infiniti poli.

Funzione meromorfa[modifica | modifica sorgente]

Una funzione olomorfa  f avente poli nei punti  z_1,\ldots z_n può essere considerata come una funzione il cui dominio comprende anche questi punti, il cui codominio è la sfera di Riemann \mathbb C\cup\{\infty\} : è sufficiente imporre  f(z_i)=\infty . Il risultato di questa operazione è una funzione meromorfa.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]


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