Polo (analisi complessa)

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Il modulo della funzione Gamma con alcuni poli.

In matematica, e in particolare in analisi complessa, per polo di una funzione olomorfa , si intende una singolarità isolata della funzione per cui

Il polo si distingue dalla singolarità eliminabile e dalla singolarità essenziale, per le quali tale limite rispettivamente è finito e non esiste.

La conoscenza delle caratteristiche dei poli di una funzione olomorfa consente di determinare molte delle sue caratteristiche; inoltre lo studio dei poli è fondamentale nel calcolo dei residui.

Serie di Laurent[modifica | modifica wikitesto]

Una definizione equivalente può essere data tramite serie di Laurent. Una singolarità isolata è un polo se e solo se lo sviluppo locale in serie di Laurent è del tipo

con , per qualche .

In altre parole, una singolarità isolata è un polo se e solo se la parte principale della serie di Laurent in un intorno bucato della singolarità è costituita da un numero finito di termini, cioè se i coefficienti con apice negativo sono un numero finito diverso da zero:

Ordine del polo[modifica | modifica wikitesto]

L'ordine del polo è il numero naturale di termini che costituiscono la parte principale della serie di Laurent. Analogamente, è un polo se per qualche il limite:

esiste, è finito ed è diverso da zero. In questo caso la funzione ha nel punto un polo di ordine .

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Una funzione

dove e sono polinomi senza radici in comune (quindi la funzione è ridotta ai minimi termini), è definita su

dove sono le radici di . Ciascuno di questi punti è un polo, il cui ordine è pari alla molteplicità della radice. Ad esempio,

ha un polo di ordine in ed un polo di ordine in .

La funzione

è definita su

ed ha un polo di ordine uno su ogni punto . Ha quindi infiniti poli.

Funzione meromorfa[modifica | modifica wikitesto]

Una funzione olomorfa avente poli nei punti può essere considerata come una funzione il cui dominio comprende anche questi punti, il cui codominio è la sfera di Riemann : è sufficiente imporre . Il risultato di questa operazione è una funzione meromorfa.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]


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