Residuo (analisi complessa)

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In analisi complessa, il residuo è un numero complesso che descrive il comportamento degli integrali di linea di una funzione olomorfa intorno ad una singolarità isolata.

I residui vengono calcolati facilmente e sono uno strumento potente dell'analisi complessa, poiché permettono di valutare numerosi integrali attraverso il calcolo (generalmente più semplice) di alcune derivate, tramite il teorema dei residui.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia un aperto del piano complesso , e un punto di . Sia

una funzione olomorfa che in ha una singolarità isolata e quindi un unico sviluppo locale in serie di Laurent

Il residuo di in è l'integrale di lungo la circonferenza diviso per :

dove il raggio r è preso sufficientemente piccolo da non contenere altre singolarità isolate. In modo equivalente, il residuo di in è il coefficiente della serie di Laurent, e viene indicato con

Il valore del residuo non dipende dal raggio del cerchio lungo il quale avviene l'integrazione, ma solo dal comportamento della funzione nel punto di singolarità.

Integrali di linea[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema dei residui.

Il residuo è importante perché determina l'integrale di lungo una curva chiusa che abbia indice di avvolgimento uno intorno alla singolarità. Ad esempio, la curva

definita su , per sufficientemente piccolo in modo che il suo supporto sia effettivamente in . Vale quindi

Infatti valgono le uguaglianze

Tutti i termini diversi da infatti non contribuiscono all'integrale, poiché la funzione ha una primitiva per ogni diverso da , data da . L'ultima uguaglianza può essere calcolata direttamente, traslando in per comodità:

Calcolo del residuo[modifica | modifica wikitesto]

Il calcolo del residuo di una funzione in un punto risulta particolarmente semplice nel caso in cui la singolarità isolata sia eliminabile o un polo. Se la singolarità è eliminabile allora il residuo è automaticamente zero, mentre se è un polo di ordine k il residuo è:

e in particolare, se è un polo semplice (cioè se k = 1), allora il residuo è semplicemente:

Infatti la serie di Laurent si scrive come

ove è l'ordine del polo. Ponendo

,

si ottiene una funzione analitica in con sviluppo di Taylor

Confrontando il coefficiente del termine di grado k-1 delle due serie per g (z), risulta quindi

Residuo all'infinito[modifica | modifica wikitesto]

Una funzione olomorfa è definita in un intorno dell'infinito se esiste un tale che l'aperto contenga tutti gli con modulo . In questo caso, è definito il residuo all'infinito di come

dove

è una curva qualsiasi con (il risultato non dipende da questa scelta).

In particolare, il residuo all'infinito può essere determinato come

Tale relazione discende da un semplice cambio di variabile (o trasformazione conforme) che manda la variabile z nella sua inversa . Segue allora che

ove

Risulta allora che la funzione ha un punto singolare isolato nella nuova variabile ω dove essa vale 0. Ad essa si applica allora il teorema dei residui, da cui discende la formula per il residuo all'infinito. Da notare che la rappresentazione sulla sfera di Riemann fornisce una rappresentazione potente della situazione matematica descritta.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Esempio 1[modifica | modifica wikitesto]

Sia , .

Poiché è olomorfa intorno a , per ogni , lo sviluppo di Laurent di in è lo sviluppo di Taylor, dunque e dunque se .

Lo sviluppo di Laurent di in è dunque e allora .

Per , considero la e dunque .

Esempio 2[modifica | modifica wikitesto]

Sia , .

Mostrare che se ,

e

.

Poiché è olomorfa intorno a , per ogni , lo sviluppo di Laurent di in è lo sviluppo di Taylor, dunque e dunque se , come nel caso precedente.

Lo sviluppo di Laurent di in è dunque e allora .

Per , considero la e dunque .

Esempio 3[modifica | modifica wikitesto]

Sia , .

perché ha grado 2 ma i due poli in hanno ciascuno molteplicità 1.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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