Funzione Gamma

Funzione gamma sui numeri reali

In matematica, la funzione Gamma, nota anche come funzione gamma di Eulero è una funzione meromorfa, continua sui numeri reali positivi, che estende il concetto di fattoriale ai numeri complessi, nel senso che per ogni numero intero non negativo $n$$n$ si ha

$\Gamma (n+1)=n!$$\Gamma(n+1) = n!$,

dove $n!$$n!$ denota il fattoriale, cioè il prodotto dei numeri interi da $1$$1$ a $n$$n$: $n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot n$$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n$.

Definizione

Valore assoluto della funzione gamma sul piano complesso

La notazione $\Gamma (z)$$\Gamma(z)$ è dovuta a Legendre. Se la parte reale del numero complesso $z$$z$ è positiva, allora l'integrale

$\Gamma (z)=\int _{0}^{+\infty }t^{z-1}\,e^{-t}\,dt$$\Gamma(z) = \int_0^{+\infty} t^{z-1}\,e^{-t}\,dt$

converge assolutamente. Comunque, usando la continuazione analitica, si può estendere la definizione della $\Gamma$$\Gamma$ a tutti i numeri complessi $z$$z$, anche con parte reale non positiva, ad eccezione degli interi minori o uguali a zero. Usando l'integrazione per parti, in effetti, si può dimostrare che:

$\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)\,,$$\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)\,,$

per cui si ha $\Gamma (z)=\Gamma (z+1)/z$$\Gamma (z)=\Gamma (z+1)/z$. In questo modo la definizione della $\Gamma$$\Gamma$ può essere estesa dal semipiano $\mathrm {Re} (z)>0$$\mathrm{Re}(z) >0$ a quello $\mathrm {Re} (z)>-1$$\mathrm {Re} (z)>-1$ (ad eccezione di un polo in $z=0$$z=0$), e successivamente a tutto il piano complesso (con poli in $z=0,-1,-2,\dots$$z=0,-1,-2,\dots$).

Siccome $\Gamma (1)=1$$\Gamma(1)=1$, la relazione riportata sopra implica, per tutti i numeri naturali $n$$n$, che

$\Gamma (n+1)=n!\,.$$\Gamma(n+1)=n!\,.$

In statistica si incontra di frequente (per esempio nella variabile casuale normale) l'integrale

$\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}dx={\sqrt {2\pi }}$$\int_{-\infty} ^{+\infty} e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi}$

che si ottiene ponendo ${\frac {x^{2}}{2}}=t$$\frac{x^2}{2}=t$, e quindi $x={\sqrt {2t}}$$x=\sqrt{2t}$, ottenendo quindi $dx={\frac {\sqrt {2}}{2{\sqrt {t}}}}dt$$dx= \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{t}} dt$

$\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}dx=2\int _{0}^{+\infty }e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}dx=2\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sqrt {2}}{2}}t^{-{\frac {1}{2}}}e^{-t}dt={\sqrt {2}}\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {2\pi }}$$\int_{-\infty} ^{+\infty} e^{-\frac{x^2}{2}}dx=2\int_{0} ^{+\infty} e^{-\frac{x^2}{2}}dx=2\int_{0} ^{+\infty} \frac{\sqrt{2}}{2} t^{-\frac{1}{2}}e^{-t}dt=\sqrt{2} \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{2\pi}$

Espressioni alternative

Le seguenti espressioni alternative per la funzione Gamma, sono valide su tutto il piano complesso (ad eccezione dei poli)

$\Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!n^{z}}{z(z+1)\dots (z+n)}}$$\Gamma(z) = \lim_{n \to \infty} \frac{n! n^z}{z(z+1)\dots(z+n)}$

dovuta a Gauss,

$\Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n}$$\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}$

dove $\gamma$$\gamma$ è la costante di Eulero-Mascheroni, dovuta a Schlömilch e ottenibile applicando il teorema di fattorizzazione di Weierstrass alla funzione ${\frac {1}{\Gamma (z)}}$${\frac {1}{\Gamma (z)}}$

${\frac {1}{\Gamma (z)}}=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-{\frac {z}{n}}}$${\frac {1}{\Gamma (z)}}=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-{\frac {z}{n}}}$

Un'ulteriore espressione alternativa è la seguente:

$\Gamma (z)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}{\frac {1}{z+n}}+\int _{1}^{+\infty }t^{z-1}e^{-t}dt.$$\Gamma(z) = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\frac{1}{z+n} + \int_1^{+\infty} t^{z-1}e^{-t}dt.$

In questa formula sono espliciti i poli di ordine $1$$1$ e residuo ${\frac {(-1)^{n}}{n!}}$$\frac{(-1)^n}{n!}$ che la funzione Gamma ha in $z=-n$$z = -n$, per ogni $n$$n$ intero non negativo.

La singolarità nell'origine può essere anche dedotta dalla relazione di ricorrenza. Infatti

$\lim _{z\to 0}\Gamma (z)=\lim _{z\to 0}{\frac {\Gamma (z+1)}{z}}=\lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}},$$\lim_{z \to 0} \Gamma(z) = \lim_{z \to 0} \frac{\Gamma(z+1)}{z} = \lim_{z \to 0} \frac{1}{z},$

dove è stato fatto uso della relazione $\Gamma (1)=1$$\Gamma(1)=1$.

Proprietà

Altre importanti proprietà della funzione Gamma sono la formula di riflessione di Eulero

$\Gamma (1-z)\Gamma (z)={\pi \over \sin(\pi z)}$$\Gamma(1-z)\Gamma(z) = {\pi \over \sin(\pi z)}$

e quella di duplicazione

$\Gamma (z)\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}{\sqrt {\pi }}\Gamma (2z)$$\Gamma (z)\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}{\sqrt {\pi }}\Gamma (2z)$

che a sua volta è un caso particolare della formula di moltiplicazione

$\Gamma (z)\Gamma \left(z+{\frac {1}{m}}\right)\Gamma \left(z+{\frac {2}{m}}\right)\dots \Gamma \left(z+{\frac {m-1}{m}}\right)=(2\pi )^{(m-1)/2}m^{1/2-mz}\Gamma (mz)$$\Gamma (z)\Gamma \left(z+{\frac {1}{m}}\right)\Gamma \left(z+{\frac {2}{m}}\right)\dots \Gamma \left(z+{\frac {m-1}{m}}\right)=(2\pi )^{(m-1)/2}m^{1/2-mz}\Gamma (mz)$

la quale per $z=0$$z=0$ diventa

$\Gamma \left({\frac {1}{m}}\right)\Gamma \left({\frac {2}{m}}\right)\dots \Gamma \left({\frac {m-1}{m}}\right)={\frac {(2\pi )^{(m-1)/2}}{\sqrt {m}}}$$\Gamma \left({\frac {1}{m}}\right)\Gamma \left({\frac {2}{m}}\right)\dots \Gamma \left({\frac {m-1}{m}}\right)={\frac {(2\pi )^{(m-1)/2}}{\sqrt {m}}}$

Quest'ultima identità è ottenibile anche dalla formula di riflessione e dall'identità trigonometrica $\prod _{k=1}^{m-1}\sin {\frac {k\pi }{m}}={\frac {m}{2^{m-1}}}$$\prod _{k=1}^{m-1}\sin {\frac {k\pi }{m}}={\frac {m}{2^{m-1}}}$ .

Le derivate della funzione Gamma

$\Gamma ^{(n)}(z)=\int _{0}^{+\infty }[\ln {(t)}]^{n}\,t^{z-1}\,e^{-t}\,dt$$\Gamma ^{(n)}(z)=\int _{0}^{+\infty }[\ln {(t)}]^{n}\,t^{z-1}\,e^{-t}\,dt$

possono essere espresse in funzione della stessa funzione Gamma e di altre funzioni, per esempio

$\Gamma '(z)=\Gamma (z)\psi _{0}(z),$$\Gamma'(z)=\Gamma(z)\psi_0(z),$

dove $\psi _{0}$$\psi_0$ è la funzione poligamma di ordine zero. In particolare,

$\Gamma '(1)=-\gamma ,$$\Gamma'(1)=-\gamma,$

dove $\gamma$$\gamma$ è la costante di Eulero-Mascheroni.

Si ha, inoltre,

${\frac {d}{dz}}\ln {\Gamma {(z)}}={\frac {\Gamma '{(z)}}{\Gamma {(z)}}}=\psi _{0}(z)=-\gamma -{\frac {1}{z}}-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n+z}}-{\frac {1}{n}}\right)$${\frac {d}{dz}}\ln {\Gamma {(z)}}={\frac {\Gamma '{(z)}}{\Gamma {(z)}}}=\psi _{0}(z)=-\gamma -{\frac {1}{z}}-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n+z}}-{\frac {1}{n}}\right)$

che per $z=m$$z=m$ intero positivo si riduce ad una somma finita

$\psi _{0}(m)={\frac {\Gamma '{(m)}}{\Gamma {(m)}}}=-\gamma +1+{\frac {1}{2}}+\dots +{\frac {1}{m-1}}=-\gamma +H_{m-1}$$\psi _{0}(m)={\frac {\Gamma '{(m)}}{\Gamma {(m)}}}=-\gamma +1+{\frac {1}{2}}+\dots +{\frac {1}{m-1}}=-\gamma +H_{m-1}$

dove $H_{m-1}$$H_{m-1}$ è l'(m-1)-esimo numero armonico.

Derivando membro a membro rispetto a $z$$z$ si ha, ancora,

${\frac {d}{dz}}{\frac {\Gamma '{(z)}}{\Gamma {(z)}}}=\psi _{1}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+z)^{2}}}$${\frac {d}{dz}}{\frac {\Gamma '{(z)}}{\Gamma {(z)}}}=\psi _{1}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+z)^{2}}}$

che per $z=0$$z=0$ diverge, mentre per $z=1$$z=1$ diviene la serie armonica generalizzata di ordine 2

$\left[{\frac {d}{dz}}{\frac {\Gamma '{(z)}}{\Gamma {(z)}}}\right]_{z=1}=\psi _{1}(1)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}$$\left[{\frac {d}{dz}}{\frac {\Gamma '{(z)}}{\Gamma {(z)}}}\right]_{z=1}=\psi _{1}(1)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

Lukacs studiò altre proprietà nell'opera A Characterization of the Gamma Distribution negli Annals of Mathematical Statistics del 1955.

Ricordiamo anche che, a partire dalla funzione Gamma, la funzione poligamma di ordine $m$$m$ è definita nel modo seguente:

$\psi _{m}(z):=\left({\frac {d}{dz}}\right)^{m+1}\ln {\Gamma (z)}=\left({\frac {d}{dz}}\right)^{m}{\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}=\left({\frac {d}{dz}}\right)^{m}\psi _{0}(z)$$\psi _{m}(z):=\left({\frac {d}{dz}}\right)^{m+1}\ln {\Gamma (z)}=\left({\frac {d}{dz}}\right)^{m}{\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}=\left({\frac {d}{dz}}\right)^{m}\psi _{0}(z)$ .

Valori notevoli

Probabilmente, il più noto valore che la funzione Gamma assume su numeri non interi è

$\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }},$$\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi},$

che si può trovare ponendo $z={\frac {1}{2}}$$z=\frac{1}{2}$ nella formula di riflessione.

Oltre a questo e al già citato valore assunto sui numeri naturali, sono interessanti anche le seguenti proprietà, che interessano i multipli dispari di ${\frac {1}{2}}$$\frac{1}{2}$

$\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)={\frac {(n-2)!!}{2^{(n-1)/2}}}{\sqrt {\pi }}={{\frac {n}{2}}-1 \choose {\frac {n-1}{2}}}{\frac {n-1}{2}}!{\sqrt {\pi }}$$\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)= \frac{(n-2)!!}{2^{(n-1)/2}} \sqrt{\pi} = {\frac{n}{2}-1\choose \frac{n-1}{2}} \frac{n-1}{2}! \sqrt{\pi}$

$\Gamma \left(-{\frac {n}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{{-{\frac {1}{2}} \choose {\frac {n+1}{2}}}{\frac {n+1}{2}}!}}$$\Gamma\left(-\frac{n}{2}\right)= \frac{\sqrt{\pi}}{{-\frac{1}{2} \choose \frac{n+1}{2}}\frac{n+1}{2}!}$

dove $n!!$$n!!$ denota il semifattoriale e la parentesi tonda a due livelli il coefficiente binomiale.

Teorema di unicità

Il teorema di Bohr-Mollerup afferma che, tra tutte le funzioni che estendono la funzione fattoriale, solo la funzione Gamma è tale che il suo logaritmo è una funzione convessa.

Bibliografia

• Donato Greco, Complementi di Analisi, Napoli, Liguori Editore, 1978, ISBN 88-207-0325-4. (capitolo 12, $1, pp. 227-248)
• Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Analisi Matematica Due, Napoli, Liguori Editore, 1996, ISBN 978-88-207-2675-1. (capitolo 8)
• Milton Abramowitz e Irene Stegun Handbook of Mathematical Functions (Dover, New York, 1964) (capitolo 6)
• Niels Nielsen Handbuch der theorie der gammafunktion (in tedesco, Teubner, Lepizig, 1906)

Voci correlate

• Funzione gamma incompleta
• Funzione digamma
• Funzione poligamma
• Teorema di Bohr-Mollerup
• Funzione Beta di Eulero
• Chi Quadrato
• Variabile casuale Gamma
• Approssimazione di Stirling
• Funzione (matematica) - Integrale - Integrale definito

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Collegamenti esterni

• Capitolo dedicato alla Gamma Function nella Digital Library of Mathematical Functions