Funzione Gamma

Funzione gamma sui numeri reali

In matematica, la funzione Gamma, nota anche come funzione gamma di Eulero è una funzione meromorfa, continua sui numeri reali positivi, che estende il concetto di fattoriale ai numeri complessi, nel senso che per ogni numero intero non negativo $n$ si ha:

$\Gamma (n+1)=n!$,

dove $n!$ denota il fattoriale di $n,$ cioè il prodotto dei numeri interi da $1$ a $n$: $n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots n$.

Definizione

Valore assoluto della funzione gamma sul piano complesso

La notazione $\Gamma (z)$ è dovuta a Legendre. Se la parte reale del numero complesso $z$ è positiva, allora l'integrale

$\Gamma (z)=\int _{0}^{+\infty }t^{z-1}\,e^{-t}\,dt$

converge assolutamente. Comunque, usando la continuazione analitica, si può estendere la definizione della $\Gamma$ a tutti i numeri complessi $z$, anche con parte reale non positiva, ad eccezione degli interi minori o uguali a zero. Usando l'integrazione per parti, in effetti, si può dimostrare che:

$\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)\,,$

per cui si ha:

$\Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+1)}{z}}$.

In questo modo, la definizione della $\Gamma$ può essere estesa dal semipiano $\mathrm {Re} (z)>0$ a quello $\mathrm {Re} (z)>-1$ (ad eccezione del polo in $z=0$), e successivamente a tutto il piano complesso (con poli in $z=0,-1,-2,\dots$).

Siccome $\Gamma (1)=1$, la relazione riportata sopra implica, per tutti i numeri naturali $n$, che:

$\Gamma (n+1)=n!\,.$

In statistica si incontra di frequente (per esempio nella variabile casuale normale) l'integrale:

$\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}dx={\sqrt {2\pi }}$

che si ottiene ponendo ${\textstyle {\frac {x^{2}}{2}}=t}$, e quindi $x={\sqrt {2t}}$, ottenendo quindi ${\textstyle dx={\frac {\sqrt {2}}{2{\sqrt {t}}}}dt}$

${\begin{aligned}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}dx&=2\int _{0}^{+\infty }e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}dx\\&=2\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sqrt {2}}{2}}t^{-{\frac {1}{2}}}e^{-t}dt\\&={\sqrt {2}}\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\\&={\sqrt {2\pi }}\end{aligned}}$

Espressioni alternative

Le seguenti espressioni alternative per la funzione Gamma, sono valide su tutto il piano complesso (ad eccezione dei poli):

$\Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!n^{z}}{z(z+1)\cdots (z+n)}}$

dovuta a Gauss,

$\Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n}$

dove $\gamma$ è la costante di Eulero-Mascheroni, dovuta a Schlömilch e ottenibile applicando il teorema di fattorizzazione di Weierstrass alla funzione ${\frac {1}{\Gamma (z)}}$

${\frac {1}{\Gamma (z)}}=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-{\frac {z}{n}}}$

Un'ulteriore espressione alternativa è la seguente:

$\Gamma (z)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}{\frac {1}{z+n}}+\int _{1}^{+\infty }t^{z-1}e^{-t}dt.$

In questa formula sono espliciti i poli di ordine $1$ e residuo ${\frac {(-1)^{n}}{n!}}$ che la funzione Gamma ha in $z=-n$, per ogni $n$ intero non negativo.

La singolarità nell'origine può essere anche dedotta dalla relazione di ricorrenza. Infatti

$\lim _{z\to 0}\Gamma (z)=\lim _{z\to 0}{\frac {\Gamma (z+1)}{z}}=\lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}},$

dove è stato fatto uso della relazione $\Gamma (1)=1$.

Proprietà

Altre importanti proprietà della funzione Gamma sono la formula di riflessione di Eulero:

$\Gamma (1-z)\Gamma (z)={\pi \over \sin(\pi z)},\qquad z\not \in \mathbb {Z} ,$

e quella di duplicazione:

$\Gamma (z)\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}{\sqrt {\pi }}\Gamma (2z)$

che a sua volta è un caso particolare della formula di moltiplicazione:

$\Gamma (z)\Gamma \left(z+{\frac {1}{m}}\right)\Gamma \left(z+{\frac {2}{m}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {m-1}{m}}\right)=(2\pi )^{(m-1)/2}m^{1/2-mz}\Gamma (mz)$

la quale per $z=0$ diventa:

$\Gamma \left({\frac {1}{m}}\right)\Gamma \left({\frac {2}{m}}\right)\cdots \Gamma \left({\frac {m-1}{m}}\right)={\frac {(2\pi )^{(m-1)/2}}{\sqrt {m}}}$

Quest'ultima identità è ottenibile anche dalla formula di riflessione e dall'identità trigonometrica $\prod _{k=1}^{m-1}\sin {\frac {k\pi }{m}}={\frac {m}{2^{m-1}}}$ .

Le derivate della funzione Gamma:

$\Gamma ^{(n)}(z)=\int _{0}^{+\infty }[\ln {(t)}]^{n}\,t^{z-1}\,e^{-t}\,dt$

possono essere espresse in funzione della stessa funzione Gamma e di altre funzioni, per esempio:

$\Gamma '(z)=\Gamma (z)\psi _{0}(z),$

dove $\psi _{0}$ è la funzione poligamma di ordine zero. In particolare,

$\Gamma '(1)=-\gamma ,$

dove $\gamma$ è la costante di Eulero-Mascheroni.

Si ha, inoltre:

${\frac {d}{dz}}\ln {\Gamma {(z)}}={\frac {\Gamma '{(z)}}{\Gamma {(z)}}}=\psi _{0}(z)=-\gamma -{\frac {1}{z}}-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n+z}}-{\frac {1}{n}}\right)$

che per $z=m$ intero positivo si riduce ad una somma finita

$\psi _{0}(m)={\frac {\Gamma '{(m)}}{\Gamma {(m)}}}=-\gamma +1+{\frac {1}{2}}+\dots +{\frac {1}{m-1}}=-\gamma +H_{m-1}$

dove $H_{m-1}$ è l'(m-1)-esimo numero armonico.

Derivando membro a membro rispetto a $z$ si ha, ancora,

${\frac {d}{dz}}{\frac {\Gamma '{(z)}}{\Gamma {(z)}}}=\psi _{1}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+z)^{2}}}$

che per $z=0$ diverge, mentre per $z=1$ diviene la serie armonica generalizzata di ordine 2

$\left[{\frac {d}{dz}}{\frac {\Gamma '{(z)}}{\Gamma {(z)}}}\right]_{z=1}=\psi _{1}(1)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

Lukacs studiò altre proprietà nell'opera A Characterization of the Gamma Distribution negli Annals of Mathematical Statistics del 1955.

Ricordiamo anche che, a partire dalla funzione Gamma, la funzione poligamma di ordine $m$ è definita nel modo seguente:

$\psi _{m}(z):=\left({\frac {d}{dz}}\right)^{m+1}\ln {\Gamma (z)}=\left({\frac {d}{dz}}\right)^{m}{\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}=\left({\frac {d}{dz}}\right)^{m}\psi _{0}(z)$ .

Valori notevoli

Probabilmente, il più noto valore che la funzione Gamma assume su numeri non interi è:

$\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }},$

che si può trovare ponendo $z={\frac {1}{2}}$ nella formula di riflessione.

Oltre a questo e al già citato valore assunto sui numeri naturali, sono interessanti anche le seguenti proprietà, che interessano i multipli dispari di ${\frac {1}{2}}$

$\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)={\frac {(n-2)!!}{2^{(n-1)/2}}}{\sqrt {\pi }}={{\frac {n}{2}}-1 \choose {\frac {n-1}{2}}}\left({\frac {n-1}{2}}\right)!{\sqrt {\pi }}$

$\Gamma \left(-{\frac {n}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{{\Biggl (}{\begin{matrix}{\frac {n}{2}}-1\\{\frac {n-1}{2}}\end{matrix}}{\Biggr )}\left({\frac {n+1}{2}}\right)!}}$

dove $n!!$ denota il semifattoriale e la parentesi tonda a due livelli il coefficiente binomiale.

Teorema di unicità

Il teorema di Bohr-Mollerup afferma che, tra tutte le funzioni che estendono la funzione fattoriale, solo la funzione Gamma è tale che il suo logaritmo è una funzione convessa.

Bibliografia

• Donato Greco, Complementi di Analisi, capitolo 12, Napoli, Liguori Editore, 1978, pp. 227-248, ISBN 88-207-0325-4.
• Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Analisi Matematica Due, capitolo 8, Napoli, Liguori Editore, 1996, ISBN 978-88-207-2675-1.
• (EN) Milton Abramowitz e Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions, capitolo 6, New York, 1964.
• (DE) Niels Nielsen, Handbuch der theorie der gammafunktion, Lipsia, 1906.

Voci correlate

• Funzione gamma incompleta
• Funzione digamma
• Funzione poligamma
• Teorema di Bohr-Mollerup
• Funzione beta di Eulero
• Distribuzione chi quadrato
• Variabile casuale Gamma
• Approssimazione di Stirling
• Funzione (matematica) - Integrale
• Teorema di Hölder

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Collegamenti esterni

• Capitolo dedicato alla Gamma Function nella Digital Library of Mathematical Functions