Funzione Gamma

Funzione gamma sui numeri reali

In matematica, la funzione Gamma, nota anche come funzione gamma di Eulero è una funzione meromorfa, continua sui numeri reali positivi, che estende il concetto di fattoriale ai numeri complessi, nel senso che per ogni numero intero non negativo $n$ si ha

$\Gamma(n+1) = n!$,

dove $n!$ denota il fattoriale, cioè il prodotto dei numeri interi da $1$ a $n$: $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n$.

Definizione

Valore assoluto della funzione gamma sul piano complesso

La notazione $\Gamma(z)$ è dovuta a Legendre. Se la parte reale del numero complesso $z$ è positiva, allora l'integrale

$\Gamma(z) = \int_0^{+\infty} t^{z-1}\,e^{-t}\,dt$

converge assolutamente. Comunque, usando la continuazione analitica, si può estendere la definizione della $\Gamma$ a tutti i numeri complessi $z$, anche con parte reale non positiva, purché non intera. Usando l'integrazione per parti, in effetti, si può dimostrare che:

$\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)\,,$

per cui si ha $\Gamma(z)=\frac{\Gamma(z+1)}{z}$. In questo modo la definizione della $\Gamma$ può essere estesa dal semipiano $\mathrm{Re}(z) >0$ alla striscia $-1 < \mathrm{Re}(z) <0$, e successivamente a tutto il piano $\mathrm{Re}(z)<0$, con eccezione delle rette $\mathrm{Re}(z)=0,-1,-2,\dots$

Siccome $\Gamma(1)=1$, la relazione riportata sopra implica, per tutti i numeri naturali $n$, che

$\Gamma(n+1)=n!\,.$

In statistica si incontra di frequente (per esempio nella variabile casuale normale) l'integrale

$\int_{-\infty} ^{+\infty} e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi}$

che si ottiene ponendo $\frac{x^2}{2}=t$, e quindi $x=\sqrt{2t}$, ottenendo quindi $dx=\sqrt{2} \frac{1}{2\sqrt{t}} dt$

$\int_{-\infty} ^{+\infty} e^{-\frac{x^2}{2}}dx=2\int_{0} ^{+\infty} e^{-\frac{x^2}{2}}dx=2\int_{0} ^{+\infty} \frac{\sqrt{2}}{2} t^{-\frac{1}{2}}e^{-t}dt=\sqrt{2} \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{2\pi}$

Espressioni alternative

Le seguenti espressioni alternative per la funzione Gamma, dovute rispettivamente a Gauss e Weierstrass, sono valide su tutto il piano complesso (ad eccezione dei poli)

$\Gamma(z) = \lim_{n \to \infty} \frac{n! n^z}{z(z+1)\dots(z+n)}$

$\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}$

dove $\gamma$ è la costante di Eulero-Mascheroni.

Un'ulteriore espressione alternativa è la seguente:

$\Gamma(z) = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\frac{1}{z+n} + \int_1^{+\infty} t^{z-1}e^{-t}dt.$

In questa formula sono espliciti i poli di ordine $1$ e residuo $\frac{(-1)^n}{n!}$ che la funzione Gamma ha in $z = -n$, per ogni $n$ intero non negativo.

La singolarità nell'origine può essere anche dedotta dalla relazione di ricorrenza. Infatti

$\lim_{z \to 0} \Gamma(z) = \lim_{z \to 0} \frac{\Gamma(z+1)}{z} = \lim_{z \to 0} \frac{1}{z},$

dove è stato fatto uso della relazione $\Gamma(1)=1$.

Proprietà

Altre importanti proprietà della funzione Gamma sono la formula di riflessione di Eulero

$\Gamma(1-z)\Gamma(z) = {\pi \over \sin(\pi z)}$

e quella di duplicazione

$\Gamma(z)\Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{1-2z} \sqrt{\pi}\Gamma(2z).$

che a sua volta è un caso particolare della formula di moltiplicazione

$\Gamma(z)\Gamma\left(z + \frac{1}{m}\right)\Gamma\left(z + \frac{2}{m}\right) \dots \Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = (2 \pi)^{(m-1)/2}m^{1/2 - mz} \Gamma(mz).$

Le sue derivate possono essere espresse in funzione di sé stessa e di altre funzioni, per esempio

$\Gamma'(z)=\Gamma(z)\psi_0(z),$

dove $\psi_0$ è la funzione poligamma di ordine zero. In particolare,

$\Gamma'(1)=-\gamma,$

dove $\gamma$ è la costante di Eulero-Mascheroni. Lukacs studiò altre proprietà nell'opera A Characterization of the Gamma Distribution negli Annals of Mathematical Statistics del 1955.

Valori notevoli

Probabilmente, il più noto valore che la funzione Gamma assume su numeri non interi è

$\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi},$

che si può trovare ponendo $z=\frac{1}{2}$ nella formula di riflessione.

Oltre a questo e al già citato valore assunto sui numeri naturali, sono interessanti anche le seguenti proprietà, che interessano i multipli dispari di $\frac{1}{2}$

$\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)= \frac{(n-2)!!}{2^{(n-1)/2}} \sqrt{\pi} = {\frac{n}{2}-1\choose \frac{n-1}{2}} \frac{n-1}{2}! \sqrt{\pi}$

$\Gamma\left(-\frac{n}{2}\right)= \frac{\sqrt{\pi}}{{-\frac{1}{2} \choose \frac{n+1}{2}}\frac{n+1}{2}!}$

dove $n!!$ denota il semifattoriale e la parentesi tonda a due livelli il coefficiente binomiale.

Teorema di unicità

Il teorema di Bohr-Mollerup afferma che tra tutte le funzioni che estendono la funzione fattoriale, solo gamma è tale che il suo logaritmo è una funzione convessa.

Bibliografia

• Milton Abramowitz e Irene Stegun Handbook of Mathematical Functions (Dover, New York, 1964) (capitolo 6)
• Niels Nielsen Handbuch der theorie der gammafunktion (in tedesco, Teubner, Lepizig, 1906)

Voci correlate

• Funzione Beta di Eulero
• Funzione gamma incompleta
• Chi Quadrato
• Variabile casuale Gamma
• Approssimazione di Stirling
• Funzione (matematica) - Integrale - Integrale definito

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Collegamenti esterni

• Capitolo dedicato alla Gamma Function nella Digital Library of Mathematical Functions