Funzione gamma sui numeri reali
In matematica, la funzione Gamma, nota anche come funzione gamma di Eulero è una funzione meromorfa, continua sui numeri reali positivi, che estende il concetto di fattoriale ai numeri complessi, nel senso che per ogni numero intero non negativo
si ha:
,
dove
denota il fattoriale di
cioè il prodotto dei numeri interi da
a
:
.
La notazione
è dovuta a Legendre. Se la parte reale del numero complesso
è positiva, allora l'integrale

converge assolutamente. Comunque, usando la continuazione analitica, si può estendere la definizione della
a tutti i numeri complessi
, anche con parte reale non positiva, ad eccezione degli interi minori o uguali a zero. Usando l'integrazione per parti, in effetti, si può dimostrare che:

per cui si ha:
.
In questo modo, la definizione della
può essere estesa dal semipiano
a quello
(ad eccezione del polo in
), e successivamente a tutto il piano complesso (con poli in
).
Siccome
, la relazione riportata sopra implica, per tutti i numeri naturali
, che:

In statistica si incontra di frequente (per esempio nella variabile casuale normale) l'integrale:

che si ottiene ponendo
, e quindi
, ottenendo quindi

Le seguenti espressioni alternative per la funzione Gamma, sono valide su tutto il piano complesso (ad eccezione dei poli):

dovuta a Gauss,

dove
è la costante di Eulero-Mascheroni, dovuta a Schlömilch e ottenibile applicando il teorema di fattorizzazione di Weierstrass alla funzione

Un'ulteriore espressione alternativa è la seguente:

In questa formula sono espliciti i poli di ordine
e residuo
che la funzione Gamma ha in
, per ogni
intero non negativo.
La singolarità nell'origine può essere anche dedotta dalla relazione di ricorrenza. Infatti

dove è stato fatto uso della relazione
.
Altre importanti proprietà della funzione Gamma sono la formula di riflessione di Eulero:

e quella di duplicazione:

che a sua volta è un caso particolare della formula di moltiplicazione:

la quale per
diventa:

Quest'ultima identità è ottenibile anche dalla formula di riflessione e dall'identità trigonometrica
.
Le derivate della funzione Gamma:
![{\displaystyle \Gamma ^{(n)}(z)=\int _{0}^{+\infty }[\ln {(t)}]^{n}\,t^{z-1}\,e^{-t}\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f642585e2f3ff3e135f18f3ae870b0d6992ccaee)
possono essere espresse in funzione della stessa funzione Gamma e di altre funzioni, per esempio:

dove
è la funzione poligamma di ordine zero. In particolare,

dove
è la costante di Eulero-Mascheroni.
Si ha, inoltre:

che per
intero positivo si riduce ad una somma finita

dove
è l'(m-1)-esimo numero armonico.
Derivando membro a membro rispetto a
si ha, ancora,

che per
diverge, mentre per
diviene la serie armonica generalizzata di ordine 2
![{\displaystyle \left[{\frac {d}{dz}}{\frac {\Gamma '{(z)}}{\Gamma {(z)}}}\right]_{z=1}=\psi _{1}(1)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a426d25fac1a62bca27f601d134d24696c3ea039)
Lukacs studiò altre proprietà nell'opera A Characterization of the Gamma Distribution negli Annals of Mathematical Statistics del 1955.
Ricordiamo anche che, a partire dalla funzione Gamma, la funzione poligamma di ordine
è definita nel modo seguente:
.
Probabilmente, il più noto valore che la funzione Gamma assume su numeri non interi è:

che si può trovare ponendo
nella formula di riflessione.
Oltre a questo e al già citato valore assunto sui numeri naturali, sono interessanti anche le seguenti proprietà, che interessano i multipli dispari di


dove
denota il semifattoriale e la parentesi tonda a due livelli il coefficiente binomiale.
Il teorema di Bohr-Mollerup afferma che, tra tutte le funzioni che estendono la funzione fattoriale, solo la funzione Gamma è tale che il suo logaritmo è una funzione convessa.
- Donato Greco, Complementi di Analisi, capitolo 12, Napoli, Liguori Editore, 1978, pp. 227-248, ISBN 88-207-0325-4.
- Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Analisi Matematica Due, capitolo 8, Napoli, Liguori Editore, 1996, ISBN 978-88-207-2675-1.
- (EN) Milton Abramowitz e Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions, capitolo 6, New York, 1964.
- (DE) Niels Nielsen, Handbuch der theorie der gammafunktion, Lipsia, 1906.