Funzione Gamma

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Funzione gamma sui numeri reali

In matematica, la funzione Gamma, nota anche come funzione gamma di Eulero è una funzione meromorfa, continua sui numeri reali positivi, che estende il concetto di fattoriale ai numeri complessi, nel senso che per ogni numero intero non negativo n si ha

\Gamma(n+1) = n!,

dove n! denota il fattoriale, cioè il prodotto dei numeri interi da 1 a n: n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Valore assoluto della funzione gamma sul piano complesso

La notazione \Gamma(z) è dovuta a Legendre. Se la parte reale del numero complesso z è positiva, allora l'integrale


\Gamma(z) = \int_0^{+\infty}  t^{z-1}\,e^{-t}\,dt

converge assolutamente. Comunque, usando la continuazione analitica, si può estendere la definizione della \Gamma a tutti i numeri complessi z, anche con parte reale non positiva, ad eccezione degli interi minori o uguali a zero. Usando l'integrazione per parti, in effetti, si può dimostrare che:

\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)\,,

per cui si ha \Gamma(z)=\Gamma(z+1)/z. In questo modo la definizione della \Gamma può essere estesa dal semipiano \mathrm{Re}(z) >0 a quello  \mathrm{Re}(z) >-1 (ad eccezione di un polo in z=0), e successivamente a tutto il piano complesso (con poli in z=0,-1,-2,\dots).

Siccome \Gamma(1)=1, la relazione riportata sopra implica, per tutti i numeri naturali n, che

\Gamma(n+1)=n!\,.

In statistica si incontra di frequente (per esempio nella variabile casuale normale) l'integrale

\int_{-\infty} ^{+\infty} e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi}

che si ottiene ponendo \frac{x^2}{2}=t, e quindi x=\sqrt{2t}, ottenendo quindi dx= \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{t}} dt

\int_{-\infty} ^{+\infty} e^{-\frac{x^2}{2}}dx=2\int_{0} ^{+\infty} e^{-\frac{x^2}{2}}dx=2\int_{0} ^{+\infty} \frac{\sqrt{2}}{2} t^{-\frac{1}{2}}e^{-t}dt=\sqrt{2} \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{2\pi}

Espressioni alternative[modifica | modifica wikitesto]

Le seguenti espressioni alternative per la funzione Gamma, sono valide su tutto il piano complesso (ad eccezione dei poli)

\Gamma(z) = \lim_{n \to \infty} \frac{n! n^z}{z(z+1)\dots(z+n)}

dovuta a Gauss,

\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}

dove \gamma è la costante di Eulero-Mascheroni, dovuta a Schlömilch e ottenibile applicando il teorema di fattorizzazione di Weierstrass alla funzione \frac{1}{\Gamma(z)}

\frac{1}{\Gamma(z)} = z e^{\gamma z} \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right) e^{-\frac{z}{n}}

Un'ulteriore espressione alternativa è la seguente:

\Gamma(z) = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\frac{1}{z+n} + \int_1^{+\infty} t^{z-1}e^{-t}dt.

In questa formula sono espliciti i poli di ordine 1 e residuo \frac{(-1)^n}{n!} che la funzione Gamma ha in z = -n, per ogni n intero non negativo.

La singolarità nell'origine può essere anche dedotta dalla relazione di ricorrenza. Infatti

\lim_{z \to 0} \Gamma(z) = \lim_{z \to 0} \frac{\Gamma(z+1)}{z} = \lim_{z \to 0} \frac{1}{z},

dove è stato fatto uso della relazione \Gamma(1)=1.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Altre importanti proprietà della funzione Gamma sono la formula di riflessione di Eulero

\Gamma(1-z)\Gamma(z) = {\pi \over \sin(\pi z)}

e quella di duplicazione

\Gamma(z)\Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{1-2z} \sqrt{\pi}\Gamma(2z)

che a sua volta è un caso particolare della formula di moltiplicazione

\Gamma(z)\Gamma\left(z + \frac{1}{m}\right)\Gamma\left(z + \frac{2}{m}\right) \dots \Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = (2 \pi)^{(m-1)/2}m^{1/2 - mz} \Gamma(mz)

la quale per  z = 0 diventa

\Gamma\left(\frac{1}{m}\right)\Gamma\left(\frac{2}{m}\right) \dots \Gamma\left(\frac{m-1}{m}\right) = \frac{(2 \pi)^{(m-1)/2}}{\sqrt{m}}

Quest'ultima identità è ottenibile anche dalla formula di riflessione e dall'identità trigonometrica  \prod_{k=1}^{m-1} \sin{\frac{k \pi}{m}} = \frac{m}{2^{m-1}} .

Le derivate della funzione Gamma


\Gamma^{(n)}(z) = \int_0^{+\infty} [\ln{(t)}]^{n}\,t^{z-1}\,e^{-t}\,dt

possono essere espresse in funzione della stessa funzione Gamma e di altre funzioni, per esempio

\Gamma'(z)=\Gamma(z)\psi_0(z),

dove \psi_0 è la funzione poligamma di ordine zero. In particolare,

\Gamma'(1)=-\gamma,

dove \gamma è la costante di Eulero-Mascheroni.

Si ha, inoltre,

\frac{d}{d z}\ln{\Gamma{(z)}} = \frac{\Gamma'{(z)}}{\Gamma{(z)}} = \psi_0(z) = - \gamma - \frac{1}{z} - \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n+z} - \frac{1}{n} \right)

che per  z = m intero positivo si riduce ad una somma finita

  \psi_0(m) = \frac{\Gamma'{(m)}}{\Gamma{(m)}} = - \gamma + 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{m-1} = - \gamma + H_{m-1}

dove H_{m-1} è l'(m-1)-esimo numero armonico.

Derivando membro a membro rispetto a z si ha, ancora,

\frac{d}{d z}\frac{\Gamma'{(z)}}{\Gamma{(z)}} = \psi_1(z) =\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+z)^2}

che per  z = 0 diverge, mentre per  z = 1 diviene la serie armonica generalizzata di ordine 2

\left[ \frac{d}{d z}\frac{\Gamma'{(z)}}{\Gamma{(z)}} \right]_{z=1} = \psi_1(1) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^2} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}


Lukacs studiò altre proprietà nell'opera A Characterization of the Gamma Distribution negli Annals of Mathematical Statistics del 1955.


Ricordiamo anche che, a partire dalla funzione Gamma, la funzione poligamma di ordine m è definita nel modo seguente:

\psi_m(z) := \left(\frac{d}{dz}\right)^{m+1} \ln{\Gamma(z)} = 
\left(\frac{d}{dz}\right)^m \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)} =
\left(\frac{d}{dz}\right)^m \psi_0(z)
.

Valori notevoli[modifica | modifica wikitesto]

Probabilmente, il più noto valore che la funzione Gamma assume su numeri non interi è

\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi},

che si può trovare ponendo z=\frac{1}{2} nella formula di riflessione.

Oltre a questo e al già citato valore assunto sui numeri naturali, sono interessanti anche le seguenti proprietà, che interessano i multipli dispari di \frac{1}{2}

\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)= \frac{(n-2)!!}{2^{(n-1)/2}} \sqrt{\pi} = {\frac{n}{2}-1\choose \frac{n-1}{2}} \frac{n-1}{2}! \sqrt{\pi}
\Gamma\left(-\frac{n}{2}\right)= \frac{\sqrt{\pi}}{{-\frac{1}{2} \choose \frac{n+1}{2}}\frac{n+1}{2}!}

dove n!! denota il semifattoriale e la parentesi tonda a due livelli il coefficiente binomiale.

Teorema di unicità[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema di Bohr-Mollerup.

Il teorema di Bohr-Mollerup afferma che, tra tutte le funzioni che estendono la funzione fattoriale, solo la funzione Gamma è tale che il suo logaritmo è una funzione convessa.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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