Funzione digamma

In matematica, per funzione digamma si intende la funzione speciale definita come derivata logaritmica della funzione gamma:

$\psi _{0}(x):={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} x}}\ln {\Gamma (x)}={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}.$

La funzione digamma talora viene anche denotata con $\Psi (x)$ e talora anche $\psi ^{0}(x)$. Essa è collegata ai numeri armonici dalla uguaglianza

$\psi _{0}(n)=H_{n-1}-\gamma$

dove $H_{n-1}$ denota l'$(n-1)$-esimo numero armonico e $\gamma$ è la ben nota costante di Eulero-Mascheroni. Tale relazione si dimostra dalla definizione alternativa di Gauss della funzione gamma

$\Gamma \left(s\right)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n!n^{s}}{s\left(s+1\right)\left(s+2\right)\ldots \left(s+n\right)}},$

da cui

$\psi \left(s\right)={\frac {d}{ds}}\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\ln n!+s\ln n-\ln s-\ln \left(s+1\right)-\ln \left(s+2\right)-\ldots -\ln \left(s+n\right)\right)$

$\psi \left(s\right)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\ln n-{\frac {1}{s}}-{\frac {1}{s+1}}-{\frac {1}{s+2}}-\ldots -{\frac {1}{s+n}}\right)$

$\psi \left(s\right)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\ln n-\sum _{k=1}^{s+n}\left({\frac {1}{k}}\right)+1+{\frac {1}{2}}+\ldots +{\frac {1}{s-1}}\right)$

$\psi \left(s\right)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\ln n-\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {1}{k}}\right)\right)+1+{\frac {1}{2}}+\ldots +{\frac {1}{s-1}}$

$\psi \left(s\right)=-\gamma +H_{s-1}.$

Invece, se l'argomento della funzione digamma non è un numero intero positivo, ma è un generico numero complesso $z$, si dimostra che

$\psi _{0}(z)=\psi \left(z\right)=-\gamma -{\frac {1}{z}}-\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{z+k}}-{\frac {1}{k}}\right).$

Bibliografia

• (DE) N. Nielsen Handbuch der Theorie der Gammafunktion (Teubner, 1906) p. 15
• (EN) T. M. MacRobert Functions of a Complex Variable (McMillan, 1917) p. 161
• (EN) M. Abramowitz e I. Stegun Handbook of Mathematical Functions (US Governement Printing Office, 1964) p. 258

Voci correlate

• Funzione G di Erdelyi
• Funzione gamma
• Funzione poligamma
• Numero armonico

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Funzione digamma, su MathWorld, Wolfram Research.
• Polygamma function in functions.wolfram.com