Funzione digamma

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In matematica, per funzione digamma si intende la funzione speciale definita come derivata logaritmica della funzione gamma:

\psi_0(x) := \frac{\operatorname d}{\operatorname dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)} .

La funzione digamma talora viene anche denotata con \,\Psi(x) e talora anche \,\psi^0(x). Essa è collegata ai numeri armonici dalla uguaglianza

\,\psi_0(n) = H_{n-1}-\gamma

dove \,H_{n-1} denota l'(n-1)-esimo numero armonico e \gamma è la ben nota costante di Eulero - Mascheroni. Tale relazione si dimostra dalla definizione alternativa di Gauss della funzione gamma

\Gamma\left(s\right)=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{n!n^s}{s\left(s+1\right)\left(s+2\right)...\left(s+n\right)}

da cui

\psi\left(s\right)=\frac{d}{ds}\lim_{n \rightarrow \infty}\left(\ln n! + s \ln n - \ln s - \ln \left(s+1\right)-\ln\left(s+2\right)-...-\ln\left(s+n\right)\right)
\psi\left(s\right)=\lim_{n \rightarrow \infty}\left(\ln n - \frac{1}{s} -\frac{1}{s+1} -\frac{1}{s+2}-...-\frac{1}{s+n}\right)
\psi\left(s\right)=\lim_{n \rightarrow \infty}\left(\ln n - \sum_{k=1}^{s+n}\left(\frac{1}{k}\right) + 1 + \frac{1}{2} +...+ \frac{1}{s-1} \right)
\psi\left(s\right)=\lim_{n \rightarrow \infty}\left(\ln n - \sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{k}\right)\right) + 1 + \frac{1}{2} +...+ \frac{1}{s-1}
\psi\left(s\right)=-\gamma + H_{s-1}

Invece, se l'argomento della funzione digamma non è un numero intero positivo, ma è un generico numero complesso z, si dimostra che

 \psi_0(z) = \psi\left(z\right) = - \gamma - \frac{1}{z} - \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{1}{z+k} - \frac{1}{k} \right)

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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