Costante di Eulero-Mascheroni

Costante di Eulero-Mascheroni
Simbolo	γ
Valore	0,57721566490153286060... (sequenza A001620 dell'OEIS)
Origine del nome	Eulero e Lorenzo Mascheroni
Frazione continua	[0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, ...] (sequenza A002852 dell'OEIS)
Campo	numeri reali (congetturato irrazionale)
Costanti correlate	Costanti di Stieltjes, Costante di Meissel-Mertens

La costante di Eulero - Mascheroni è una costante matematica, usata principalmente nella teoria dei numeri e nell'analisi matematica. È definita come limite della differenza tra la serie armonica troncata e il logaritmo naturale:

$\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( \sum_{k=1}^n \frac1{k} - \ln n \right) = \lim_{n \rightarrow \infty } \left(H_n - \ln n \right)$

dove $H_n$ è l'ennesimo numero armonico. La sua valutazione approssimata è:

γ ≈ 0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 35988 05767 23488 48677 26777 66467 09369 47063 29174 67495...

Non è noto se γ sia un numero razionale o meno. Tuttavia, se si suppone che γ sia razionale, l'analisi in frazioni continue dimostra che il suo denominatore ha più di 10²⁴²⁰⁸⁰ cifre (Havil, pagina 97).

Le costanti di Stieltjes sono una generalizzazione di tale costante.

Rappresentazione integrale

La costante può essere definita in più modi attraverso gli integrali:

$\gamma = \int_1^\infty\left({1\over\lfloor x\rfloor}-{1\over x}\right)\,dx$

$= - \int_0^\infty e^{-x} \ln x\,dx$

$= - \int_0^1 { \ln\ln\left (\frac{1}{x}\right ) }\,dx$

$= \int_0^\infty {\left (\frac{1}{e^x-1}-\frac{1}{x e^x} \right ) }\,dx$

$= \int_0^1 {\left ( \frac1{\ln x} + \frac1{1-x} \right ) }\,dx$

$= \int_0^\infty { \frac{1}{x} \left ( \frac{1}{1+x}-e^{-x} \right ) }\,dx$

$= \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{x-1}{(1-x\,y)\ln(x\,y)} \, dx\,dy$

Altri integrali collegati con $\gamma$ sono:

$\int_0^\infty { e^{-x^2} \ln x }\,dx = -1/4(\gamma+2 \ln 2) \sqrt{\pi}$

$\int_0^\infty { e^{-x} (\ln x)^2 }\,dx = \gamma^2 + \frac{\pi^2}{6}$

Sviluppo in serie

La Costante di Eulero-Mascheroni si può esprimere tramite molte serie:

$\gamma = \sum_{k=1}^\infty \left[ \frac{1}{k} - \ln \left( 1 + \frac{1}{k} \right) \right].$

$= \sum_{m=2}^{\infty} \frac{(-1)^m\zeta(m)}{m}$

$= \ln \left ( \frac{4}{\pi} \right ) + \sum_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^{m-1} \zeta(m+1)}{2^m (m+1)}$

è notabile la serie trovata da Vacca nel 1910:

$\gamma = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\log_2 n}{n} (-1)^n$

che si generalizza in

$\gamma = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\log_b n}{n} \begin{cases}b - 1 & \mbox{ se } b \mid n \\ -1 & \mbox{ se } b \nmid n \end{cases}$

per ogni intero $b \geq 2$.

Collegamento con le funzioni speciali

La Costante di Eulero-Mascheroni è collegata con molte funzioni speciali come la Funzione zeta di Riemann, la Funzione gamma e la Funzione digamma.

$\gamma = \lim_{s \to 1^+} \sum_{n=1}^\infty \left ( \frac{1}{n^s}-\frac{1}{s^n} \right ) = \lim_{s \to 1} \left ( \zeta(s) - \frac{1}{s-1} \right )$

$= \psi(1) = \lim_{x \to \infty} \left ( x - \Gamma \left ( \frac{1}{x} \right ) \right )$

Presenza in teoria dei numeri

La costante di Eulero-Mascheroni compare spesso in Teoria dei numeri, ad esempio collegata ai numeri primi

$\gamma = \lim_{n \to \infty} \left( \ln n - \sum_{p \le n} \frac{ \ln p }{ p-1 } \right)$

$\gamma = -\lim_{n \to \infty} \left[\ln \ln n + \sum_{p \leq n} \ln\left(1-\frac1{p}\right) \right],$

noto come terzo teorema di Mertens. Nel problema dei divisori di Dirichlet

$\sum_{k=1}^n d(n) = n \ln n + (2\gamma - 1) n + O(\sqrt{n}).$

Inoltre,

$\gamma = \sum_{n=1}^\infty \frac{N_1(n) + N_0(n)}{2n(2n+1)}$

dove $N_1(n)$ e $N_0(n)$ sono rispettivamente il numero di 1 e di 0 nell'espansione binaria di $n$ (Sondow 2005).

Bibliografia

• Havil, J., Gamma: Exploring Euler's Constant, Princeton, NJ: Princeton University Press, 2003.

Voci correlate

La costante di Eulero - Mascheroni compare anche nelle seguenti voci:

• formula prodotto per la funzione gamma
• calcolo della funzione digamma
• espressioni che coinvolgono l'integrale esponenziale

Collegamenti esterni

• (EN) costante di Eulero - Mascheroni in MathWorld
• Costante di Eulero-Mascheroni in «Tesauro del Nuovo Soggettario», BNCF, marzo 2013.

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