Costante di Eulero-Mascheroni

Costante di Eulero-Mascheroni
Simbolo	γ
Valore	0,57721566490153286060... (sequenza A001620 dell'OEIS)
Origine del nome	Eulero e Lorenzo Mascheroni
Frazione continua	[0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, ...] (sequenza A002852 dell'OEIS)
Campo	numeri reali (congetturato irrazionale)
Costanti correlate	Costanti di Stieltjes, Costante di Meissel-Mertens

La costante di Eulero - Mascheroni è una costante matematica, usata principalmente nella teoria dei numeri e nell'analisi matematica. È definita come limite della differenza tra la serie armonica troncata e il logaritmo naturale:

$\gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln n\right)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(H_{n}-\ln n\right),$

dove $H_{n}$ è l'ennesimo numero armonico. La sua valutazione approssimata è:

$\gamma \approx$ 0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 35988 05767 23488 48677 26777 66467 09369 47063 29174 67495...

Non è noto se $\gamma$ sia un numero razionale o meno. Tuttavia, se si suppone che $\gamma$ sia razionale, l'analisi in frazioni continue dimostra che il suo denominatore ha più di 10²⁴²⁰⁸⁰ cifre.

Le costanti di Stieltjes sono una generalizzazione di tale costante.

Rappresentazione integrale

La costante può essere definita in più modi attraverso gli integrali:

$\gamma =\int _{1}^{\infty }\left({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x}\right)\,dx$

dove le parentesi $\lfloor \cdot \rfloor$ indicano la funzione parte intera (floor)

$=-\int _{0}^{\infty }e^{-x}\ln x\,dx$

$=-\int _{0}^{1}{\ln \ln \left({\frac {1}{x}}\right)}\,dx$

$=\int _{0}^{\infty }{\left({\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {1}{xe^{x}}}\right)}\,dx$

$=\int _{0}^{1}{\left({\frac {1}{\ln x}}+{\frac {1}{1-x}}\right)}\,dx$

$=\int _{0}^{\infty }{{\frac {1}{x}}\left({\frac {1}{1+x}}-e^{-x}\right)}\,dx$

$=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1-x\,y)\ln(x\,y)}}\,dx\,dy$

Altri integrali collegati con $\gamma$ sono:

$\int _{0}^{\infty }{e^{-x^{2}}\ln x}\,dx=-{\frac {1}{4}}(\gamma +2\ln 2){\sqrt {\pi }}$

$\int _{0}^{\infty }{e^{-x}(\ln x)^{2}}\,dx=\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}$

Sviluppo in serie

La Costante di Eulero-Mascheroni si può esprimere tramite molte serie:

$\gamma =\sum _{k=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{k}}-\ln \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right].$

$=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}\zeta (m)}{m}}$

$=\ln \left({\frac {4}{\pi }}\right)+\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m-1}\zeta (m+1)}{2^{m}(m+1)}}$

È notabile la serie trovata da Vacca nel 1910:

$\gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lfloor \log _{2}n\rfloor }{n}}(-1)^{n}$

dove, nuovamente, le parentesi $\lfloor \cdot \rfloor$ indicano la funzione parte intera (floor).

Essa si generalizza in

$\gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\log _{b}n}{n}}{\begin{cases}b-1&{\mbox{ se }}b\mid n\\-1&{\mbox{ se }}b\nmid n\end{cases}}$

per ogni intero $b\geq 2$.

Collegamento con le funzioni speciali

La Costante di Eulero-Mascheroni è collegata con molte funzioni speciali come la funzione zeta di Riemann, la funzione gamma e la funzione digamma.

$\gamma =\lim _{s\to 1^{+}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {1}{s^{n}}}\right)=\lim _{s\to 1}\left(\zeta (s)-{\frac {1}{s-1}}\right)$

$=-\psi (1)=\lim _{x\to \infty }\left(x-\Gamma \left({\frac {1}{x}}\right)\right)$

Presenza in teoria dei numeri

La costante di Eulero-Mascheroni compare spesso in teoria dei numeri, ad esempio collegata ai numeri primi

$\gamma =\lim _{n\to \infty }\left(\ln n-\sum _{p\leq n}{\frac {\ln p}{p-1}}\right)$

$\gamma =-\lim _{n\to \infty }\left[\ln \ln n+\sum _{p\leq n}\ln \left(1-{\frac {1}{p}}\right)\right],$

noto come terzo teorema di Mertens. Nel problema dei divisori di Dirichlet

$\sum _{k=1}^{n}d(n)=n\ln n+(2\gamma -1)n+O({\sqrt {n}}).$

Inoltre,

$\gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)+N_{0}(n)}{2n(2n+1)}}$

dove $N_{1}(n)$ e $N_{0}(n)$ sono rispettivamente il numero di 1 e di 0 nell'espansione binaria di $n$ (Sondow 2005).

Bibliografia

• Havil, J., Gamma: Exploring Euler's Constant, Princeton, NJ: Princeton University Press, 2003.

Voci correlate

La costante di Eulero - Mascheroni compare anche nelle seguenti voci:

• formula prodotto per la funzione Gamma
• calcolo della funzione digamma
• espressioni che coinvolgono l'integrale esponenziale

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• Costante di Eulero-Mascheroni, su thes.bncf.firenze.sbn.it, Biblioteca Nazionale Centrale di Firenze.
• (EN) costante di Eulero - Mascheroni in MathWorld, su mathworld.wolfram.com.