Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Costante di Eulero-Mascheroni
Simbolo
γ
Valore
0,57721566490153286060... A001620 dell'OEIS )
Origine del nome
Eulero e Lorenzo Mascheroni
Frazione continua
[0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, ...] A002852 dell'OEIS)
Campo
numeri reali (congetturato irrazionale )
Costanti correlate
Costanti di Stieltjes , Costante di Meissel-Mertens
La costante di Eulero -Mascheroni è una costante matematica , usata principalmente nella teoria dei numeri e nell'analisi matematica . È definita come limite della differenza tra la serie armonica
troncata e il logaritmo naturale :
γ
=
lim
n
→
∞
(
∑
k
=
1
n
1
k
−
∫
1
n
1
x
d
x
)
=
lim
n
→
∞
(
∑
k
=
1
n
1
k
−
ln
n
)
=
lim
n
→
∞
(
H
n
−
ln
n
)
,
{\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\int _{1}^{n}{\frac {1}{x}}dx\right)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln n\right)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(H_{n}-\ln n\right),}
dove
H
n
{\displaystyle H_{n}}
numero armonico . La sua valutazione approssimata è:
γ
≈
{\displaystyle \gamma \approx }
[1] Non è noto se
γ
{\displaystyle \gamma }
numero razionale o meno. Tuttavia, se si suppone che
γ
{\displaystyle \gamma }
frazioni continue dimostra che il suo denominatore ha più di 10242080 cifre.[2]
Le costanti di Stieltjes sono una generalizzazione di tale costante.
La costante può essere definita in più modi attraverso gli integrali:
γ
=
∫
1
∞
(
1
⌊
x
⌋
−
1
x
)
d
x
{\displaystyle \gamma =\int _{1}^{\infty }\left({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x}\right)\,dx}
dove le parentesi
⌊
⋅
⌋
{\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }
parte intera (floor )
=
−
∫
0
∞
e
−
x
ln
x
d
x
{\displaystyle =-\int _{0}^{\infty }e^{-x}\ln x\,dx}
=
−
∫
0
1
ln
ln
(
1
x
)
d
x
{\displaystyle =-\int _{0}^{1}{\ln \ln \left({\frac {1}{x}}\right)}\,dx}
=
∫
0
∞
(
1
e
x
−
1
−
1
x
e
x
)
d
x
{\displaystyle =\int _{0}^{\infty }{\left({\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {1}{xe^{x}}}\right)}\,dx}
=
∫
0
1
(
1
ln
x
+
1
1
−
x
)
d
x
{\displaystyle =\int _{0}^{1}{\left({\frac {1}{\ln x}}+{\frac {1}{1-x}}\right)}\,dx}
=
∫
0
∞
1
x
(
1
1
+
x
−
e
−
x
)
d
x
{\displaystyle =\int _{0}^{\infty }{{\frac {1}{x}}\left({\frac {1}{1+x}}-e^{-x}\right)}\,dx}
=
∫
0
1
∫
0
1
x
−
1
(
1
−
x
y
)
ln
(
x
y
)
d
x
d
y
{\displaystyle =\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1-x\,y)\ln(x\,y)}}\,dx\,dy}
Altri integrali collegati con
γ
{\displaystyle \gamma }
∫
0
∞
e
−
x
2
ln
x
d
x
=
−
1
4
(
γ
+
2
ln
2
)
π
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{e^{-x^{2}}\ln x}\,dx=-{\frac {1}{4}}(\gamma +2\ln 2){\sqrt {\pi }}}
∫
0
∞
e
−
x
(
ln
x
)
2
d
x
=
γ
2
+
π
2
6
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{e^{-x}(\ln x)^{2}}\,dx=\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}}
La Costante di Eulero-Mascheroni si può esprimere tramite molte serie:
γ
=
∑
k
=
1
∞
[
1
k
−
ln
(
1
+
1
k
)
]
.
{\displaystyle \gamma =\sum _{k=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{k}}-\ln \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right].}
=
∑
m
=
2
∞
(
−
1
)
m
ζ
(
m
)
m
{\displaystyle =\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}\zeta (m)}{m}}}
=
ln
(
4
π
)
+
∑
m
=
1
∞
(
−
1
)
m
−
1
ζ
(
m
+
1
)
2
m
(
m
+
1
)
{\displaystyle =\ln \left({\frac {4}{\pi }}\right)+\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m-1}\zeta (m+1)}{2^{m}(m+1)}}}
È notabile la serie trovata da Vacca nel 1910 :
γ
=
∑
n
=
1
∞
⌊
log
2
n
⌋
n
(
−
1
)
n
{\displaystyle \gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lfloor \log _{2}n\rfloor }{n}}(-1)^{n}}
dove, nuovamente, le parentesi
⌊
⋅
⌋
{\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }
floor ). Essa si generalizza in
γ
=
∑
n
=
1
∞
log
b
n
n
{
b
−
1
se
b
∣
n
−
1
se
b
∤
n
{\displaystyle \gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\log _{b}n}{n}}{\begin{cases}b-1&{\mbox{ se }}b\mid n\\-1&{\mbox{ se }}b\nmid n\end{cases}}}
per ogni intero
b
≥
2
{\displaystyle b\geq 2}
La Costante di Eulero-Mascheroni è collegata con molte funzioni speciali come la funzione zeta di Riemann , la funzione gamma e la funzione digamma .
γ
=
lim
s
→
1
+
∑
n
=
1
∞
(
1
n
s
−
1
s
n
)
=
lim
s
→
1
(
ζ
(
s
)
−
1
s
−
1
)
{\displaystyle \gamma =\lim _{s\to 1^{+}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {1}{s^{n}}}\right)=\lim _{s\to 1}\left(\zeta (s)-{\frac {1}{s-1}}\right)}
=
−
ψ
(
1
)
=
lim
x
→
∞
(
x
−
Γ
(
1
x
)
)
{\displaystyle =-\psi (1)=\lim _{x\to \infty }\left(x-\Gamma \left({\frac {1}{x}}\right)\right)}
La costante di Eulero-Mascheroni compare spesso in teoria dei numeri , ad esempio collegata ai numeri primi
γ
=
lim
n
→
∞
(
ln
n
−
∑
p
≤
n
ln
p
p
−
1
)
{\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(\ln n-\sum _{p\leq n}{\frac {\ln p}{p-1}}\right)}
γ
=
−
lim
n
→
∞
[
ln
ln
n
+
∑
p
≤
n
ln
(
1
−
1
p
)
]
,
{\displaystyle \gamma =-\lim _{n\to \infty }\left[\ln \ln n+\sum _{p\leq n}\ln \left(1-{\frac {1}{p}}\right)\right],}
noto come terzo teorema di Mertens . Nel problema dei divisori di Dirichlet
∑
k
=
1
n
d
(
n
)
=
n
ln
n
+
(
2
γ
−
1
)
n
+
O
(
n
)
.
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}d(n)=n\ln n+(2\gamma -1)n+O({\sqrt {n}}).}
Inoltre,
γ
=
∑
n
=
1
∞
N
1
(
n
)
+
N
0
(
n
)
2
n
(
2
n
+
1
)
{\displaystyle \gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)+N_{0}(n)}{2n(2n+1)}}}
dove
N
1
(
n
)
{\displaystyle N_{1}(n)}
N
0
(
n
)
{\displaystyle N_{0}(n)}
n
{\displaystyle n}
^ Il record per il calcolo di γ è di 108 000 000 di decimali (Patrick Demichel e Xavier Gourdon, 1999). V. Histoire des maths
^ havil , p. 97. Havil, J., Gamma: Exploring Euler's Constant , Princeton, NJ: Princeton University Press, 2003.
![{\displaystyle \gamma =\sum _{k=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{k}}-\ln \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/602d1bd7a4ff09eb8c7c6b0cdc49f3b52f171a06)
![{\displaystyle \gamma =-\lim _{n\to \infty }\left[\ln \ln n+\sum _{p\leq n}\ln \left(1-{\frac {1}{p}}\right)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15e8c5415d40f38dbefa72a3910bec62530f3159)
Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su costante di Eulero-Mascheroni
