Funzione Gamma

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Funzione gamma sui numeri reali

In matematica, la funzione Gamma, nota anche come funzione gamma di Eulero è una funzione meromorfa, continua sui numeri reali positivi, che estende il concetto di fattoriale ai numeri complessi, nel senso che per ogni numero intero non negativo si ha:

,

dove denota il fattoriale di cioè il prodotto dei numeri interi da a : .

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Valore assoluto della funzione gamma sul piano complesso

La notazione è dovuta a Legendre. Se la parte reale del numero complesso è positiva, allora l'integrale

converge assolutamente. Comunque, usando la continuazione analitica, si può estendere la definizione della a tutti i numeri complessi , anche con parte reale non positiva, ad eccezione degli interi minori o uguali a zero. Usando l'integrazione per parti, in effetti, si può dimostrare che:

per cui si ha:

.

In questo modo, la definizione della può essere estesa dal semipiano a quello (ad eccezione del polo in ), e successivamente a tutto il piano complesso (con poli in ).

Siccome , la relazione riportata sopra implica, per tutti i numeri naturali , che:

In statistica si incontra di frequente (per esempio nella variabile casuale normale) l'integrale:

che si ottiene ponendo , e quindi , ottenendo quindi

Espressioni alternative[modifica | modifica wikitesto]

Le seguenti espressioni alternative per la funzione Gamma, sono valide su tutto il piano complesso (ad eccezione dei poli):

dovuta a Gauss,

dove è la costante di Eulero-Mascheroni, dovuta a Schlömilch e ottenibile applicando il teorema di fattorizzazione di Weierstrass alla funzione

Un'ulteriore espressione alternativa è la seguente:

In questa formula sono espliciti i poli di ordine e residuo che la funzione Gamma ha in , per ogni intero non negativo.

La singolarità nell'origine può essere anche dedotta dalla relazione di ricorrenza. Infatti

dove è stato fatto uso della relazione .

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Altre importanti proprietà della funzione Gamma sono la formula di riflessione di Eulero:

e quella di duplicazione:

che a sua volta è un caso particolare della formula di moltiplicazione:

la quale per diventa:

Quest'ultima identità è ottenibile anche dalla formula di riflessione e dall'identità trigonometrica .

Le derivate della funzione Gamma:

possono essere espresse in funzione della stessa funzione Gamma e di altre funzioni, per esempio:

dove è la funzione poligamma di ordine zero. In particolare,

dove è la costante di Eulero-Mascheroni.

Si ha, inoltre:

che per intero positivo si riduce ad una somma finita

dove è l'(m-1)-esimo numero armonico.

Derivando membro a membro rispetto a si ha, ancora,

che per diverge, mentre per diviene la serie armonica generalizzata di ordine 2

Lukacs studiò altre proprietà nell'opera A Characterization of the Gamma Distribution negli Annals of Mathematical Statistics del 1955.

Ricordiamo anche che, a partire dalla funzione Gamma, la funzione poligamma di ordine è definita nel modo seguente:

.

Valori notevoli[modifica | modifica wikitesto]

Probabilmente, il più noto valore che la funzione Gamma assume su numeri non interi è:

che si può trovare ponendo nella formula di riflessione.

Oltre a questo e al già citato valore assunto sui numeri naturali, sono interessanti anche le seguenti proprietà, che interessano i multipli dispari di

dove denota il semifattoriale e la parentesi tonda a due livelli il coefficiente binomiale.

Teorema di unicità[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svgLo stesso argomento in dettaglio: Teorema di Bohr-Mollerup.

Il teorema di Bohr-Mollerup afferma che, tra tutte le funzioni che estendono la funzione fattoriale, solo la funzione Gamma è tale che il suo logaritmo è una funzione convessa.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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