Teorema di fattorizzazione di Weierstrass

In matematica, il teorema di fattorizzazione di Weierstrass è un teorema dell'analisi complessa. Afferma che ogni funzione intera può essere espressa come un prodotto (eventualmente infinito) in funzione dei suoi zeri e, viceversa, che per ogni insieme discreto (ovvero senza punti di accumulazione) di punti del piano complesso esiste una funzione intera che ha zeri in quei punti ed in nessun altro.

Il teorema può essere considerato un'estensione del teorema fondamentale dell'algebra al caso delle funzioni intere.

Prende nome da Karl Weierstrass.

Motivazione

Il teorema fondamentale dell'algebra afferma che ogni polinomio non costante a coefficienti complessi ha una radice, e quindi ha un numero di zeri uguale al proprio grado. Di conseguenza, ogni polinomio $P$ può essere scritto come

$P(z)=a(z-z_{1})\cdots (z-z_{n})$,

dove $z_{1},\ldots ,z_{n}$ sono gli zeri di $P$ (contati con la loro molteplicità) e $a$ è il coefficiente direttore del polinomio. Viceversa, dato un insieme finito $z_{1},\ldots ,z_{n}$ di punti (eventualmente con ripetizioni), esiste un polinomio, per la precisione $P(z):=(z-z_{1})\cdots (z-z_{n})$, i cui zeri sono esattamente $z_{1},\ldots ,z_{n}$.

Nel caso delle funzioni intere (che, anche a causa della loro rappresentazione in serie di Taylor, possono in un certo senso essere pensate come polinomi "di grado infinito"), tale approccio non può essere applicato direttamente. Da un lato, infatti, esistono funzioni intere che, pur non essendo costanti, non hanno zeri: l'esempio più semplice è costituito dall'esponenziale $e^{z}$. Dall'altro, esistono funzioni intere che hanno una quantità infinita di zeri: se il modulo di essi cresce troppo lentamente (ad esempio, se la funzione ha zeri in tutti gli interi positivi) allora il prodotto infinito $\prod _{n}(z-n)$ non è convergente, e quindi non definisce una funzione (tanto meno una funzione intera) sull'intero piano complesso.

Teorema

Sia $f$ una funzione intera, siano $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},\ldots$ i suoi zeri non nulli (contati con molteplicità) e sia $m$ l'ordine dello zero di $f$ in 0 (se $f(0)\neq 0$, allora $m=0$). Allora esistono degli interi $m_{1},\ldots ,m_{n},\ldots$ e una funzione intera $g$ tali che il prodotto infinito

$z^{m}e^{g(z)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{a_{n}}}\right)\exp \left({\frac {z}{a_{n}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{2}+\cdots +{\frac {1}{m_{n}}}\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{m_{n}}\right)$

converge a $f$.

Viceversa, se $a_{1},\ldots ,a_{n},\ldots$ è un insieme discreto di punti del piano (possibilmente con ripetizioni), tutti diversi da 0, e se $m_{1},\ldots ,m_{n},\ldots$ sono interi tali che

$\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {r}{|a_{n}|}}\right)^{1+m_{n}}<\infty$

per ogni numero reale $r>0$ (dove $|a_{n}|$ è il modulo di $a_{n}$), allora il prodotto infinito

$\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{a_{n}}}\right)\exp \left({\frac {z}{a_{n}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{2}+\cdots +{\frac {1}{m_{n}}}\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{m_{n}}\right)$

converge ad una funzione intera $f$ i cui zeri sono esattamente $a_{1},\ldots ,a_{n},\ldots$ (contati con molteplicità). In particolare, è sempre possibile prendere $m_{n}=n$.

Definizioni seguenti dal teorema

Le funzioni $z\mapsto (1-z)\exp \left(z+{\frac {1}{2}}z^{2}+\cdots +{\frac {1}{m_{n}}}z^{m_{n}}\right)$ sono a volte chiamate fattori elementari, e sono indicate come $E_{m_{n}}(z)$. La produttoria relativa a $f$ può quindi essere scritta come

$z^{m}e^{g(z)}\prod _{n=1}^{\infty }E_{m_{n}}\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)$.

Il minimo intero $\tau$ tale che la sommatoria $\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {r}{|a_{n}|}}\right)^{1+\tau }<\infty$ converge è detto (se esiste) ordine di convergenza della successione $\{a_{n}\}$. Se la funzione $g$ è un polinomio e $\tau$ esiste, allora l'ordine della funzione $f$ è definito come il massimo tra il grado di $g$ e $\tau$; in caso contrario, l'ordine di $f$ è infinito.

Esempi

• $\sin(\pi z)=\pi z\prod _{n\neq 0}\left(1-{\frac {z}{n}}\right)e^{z/n}$
• ${\frac {1}{\Gamma (z)}}=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{-n}}\right)\exp \left({\frac {z}{-n}}\right)=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-z/n}$

dove $\Gamma$ è la funzione Gamma e $\gamma$ è la costante di Eulero-Mascheroni.

Conseguenze e ampliamenti

La seconda forma del teorema può essere esteso a qualunque aperto $\Omega$ di $\mathbb {C}$: data una successione di punti $a_{1},\ldots ,a_{n},\ldots ,$ di $\Omega$ senza punti di accumulazione in $\Omega$, esiste una funzione i cui zeri sono esattamente $a_{1},\ldots ,a_{n},\ldots ,$.

Una conseguenza del teorema di fattorizzazione di Weierstrass è che ogni funzione meromorfa $f$ può essere scritta come quoziente di due funzioni intere: infatti, se $a_{1},\ldots ,a_{n},\ldots$ è l'insieme dei poli di $f$ (contati con molteplicità), allora esiste una funzione intera $h$ i cui zeri sono esattamente $a_{1},\ldots ,a_{n},\ldots$. La funzione $g:=fh$ non ha poli ed è quindi una funzione intera; di conseguenza, $f={\frac {g}{h}}$ è quoziente di due funzioni intere.

Bibliografia

• Lars Ahlfors, Complex Analysis, terza edizione, McGraw Hill, 1979, ISBN 0-07-000657-1.
• Walter Rudin, Real and Complex Analysis, 3rd, Boston, McGraw Hill, 1987, ISBN 0-07-054234-1.