Punto di accumulazione

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In matematica il concetto di punto di accumulazione è uno dei principali dell'analisi matematica e della topologia.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Dato l'insieme e (non interessa che appartenga ad o meno), si dice che è punto di accumulazione per l'insieme se in ogni intorno di esiste almeno un elemento diverso da ed appartenente ad . In formule:

Intuitivamente questo significa che se facciamo uno zoom su continuiamo a vedere punti di (diversi da ) a qualsiasi livello di ingrandimento.

Generalizzazioni[modifica | modifica wikitesto]

La nozione di punto di accumulazione è generalizzata agli spazi metrici e topologici; in entrambi i casi un punto è di accumulazione per un insieme se l'insieme contiene punti "arbitrariamente vicini" ad . La nozione di "arbitrariamente vicino" è formalizzata in modo appropriato, a seconda che lo spazio sia munito di una metrica o soltanto di una topologia.

Spazi topologici[modifica | modifica wikitesto]

In topologia un punto appartenente ad uno spazio topologico è un punto di accumulazione per un sottoinsieme di se qualsiasi aperto contenente interseca in almeno un punto diverso da . In simboli:

Spazi metrici[modifica | modifica wikitesto]

In uno spazio metrico, se si considera la topologia naturale indotta dalla metrica, la definizione introdotta precedentemente è equivalente alla seguente:

dove è la palla di raggio e centro . In altre parole, ogni palla centrata in interseca in qualche punto diverso da .

Nel caso di spazi metrici, se è punto di accumulazione per , allora è possibile trovare punti di , distinti da a distanza arbitrariamente piccola da . Dunque in ogni intorno di cadono infiniti punti di .

Nozioni correlate[modifica | modifica wikitesto]

L'insieme dei punti di accumulazione di è detto insieme derivato di e si indica di solito con .

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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