Punto di accumulazione

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In matematica il concetto di punto di accumulazione è uno dei principali dell'analisi matematica e della topologia.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Dato l'insieme A \subset \mathbb{R} e x_0 \in \mathbb{R} (non interessa che x_0 appartenga ad A o meno), si dice che x_0 è punto di accumulazione per l'insieme A se in ogni intorno I(x_0) di x_0 esiste un elemento x diverso da x_0 ed appartenente ad A. In formule:

 \forall I(x_0) \exists x \in A: x \in I(x_0), x \ne x_0

Intuitivamente questo significa che se facciamo uno zoom su x_0 continuiamo a vedere punti di A (diversi da x_0) a qualsiasi livello di ingrandimento.

Generalizzazioni[modifica | modifica sorgente]

La nozione di punto di accumulazione è generalizzata agli spazi metrici e topologici; in entrambi i casi un punto x_0 è di accumulazione per un insieme S se l'insieme S contiene punti "arbitrariamente vicini" ad x_0. La nozione di "arbitrariamente vicino" è formalizzata in modo appropriato, a seconda che lo spazio sia munito di una metrica o soltanto di una topologia.

Spazi topologici[modifica | modifica sorgente]

In topologia un punto x_0 appartenente ad uno spazio topologico  (X,T) è un punto di accumulazione (o punto limite) per un sottoinsieme S di  X se qualsiasi aperto A contenente x_0 interseca S in almeno un punto diverso da x_0. In simboli:

\forall A \in T \hbox{ t.c. } x_0 \in A: \ (A \setminus \lbrace x_0 \rbrace) \cap S \not= \varnothing.

Spazi metrici[modifica | modifica sorgente]

In uno spazio metrico, se si considera la topologia naturale indotta dalla metrica, la definizione introdotta precedentemente è equivalente alla seguente:

\forall r>0: (D(x_0,r) \setminus \lbrace x_0 \rbrace) \cap S \not= \varnothing,

dove D(x_0,r) è la palla di raggio r e centro x_0. In altre parole, ogni palla centrata in x_0 interseca S in qualche punto diverso da x_0.

Nel caso di spazi metrici, se x_0 è punto di accumulazione per S, allora è possibile trovare punti di S, distinti da x_0 a distanza arbitrariamente piccola da x_0. Dunque in ogni intorno di x_0 cadono infiniti punti di S.

Nozioni correlate[modifica | modifica sorgente]

L'insieme dei punti di accumulazione di S è detto insieme derivato di S e si indica di solito con S'.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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