Omologia singolare

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In topologia l'omologia singolare è una costruzione che permette di associare ad uno spazio topologico un oggetto algebrico detto omologia.

Esistono altre costruzioni che producono essenzialmente la stessa omologia, ad esempio l'omologia simpliciale e l'omologia cellulare. L'omologia singolare è la costruzione che funziona nella più ampia generalità: per la sua costruzione non è necessario che lo spazio topologico sia un complesso simpliciale o un complesso di celle.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia uno spazio topologico. Come ogni omologia, l'omologia singolare è definita a partire da un complesso di catene

Il complesso di catene qui è costruito a partire dalla nozione di simplesso singolare.

Simplesso standard[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: simplesso.
Il simplesso standard di dimensione 2 è un triangolo nello spazio . I suoi vertici sono i punti che definiscono la base canonica di .

Il simplesso standard è l'inviluppo convesso in dei punti

che formano la base canonica di . Per il simplesso standard è rispettivamente un segmento, un triangolo, un tetraedro. I punti sono i vertici del simplesso. Il simplesso ha dimensione .

Una faccia di dimensione di è l'inviluppo convesso di vertici distinti

Tale faccia è canonicamente identificata con il simplesso standard : il fatto che questa identificazione sia canonica è un punto essenziale della teoria, che dipende dal fatto che i vertici del simplesso standard sono ordinati. Se , l'identificazione è tale che

e si estende per combinazione convessa a tutta la faccia.

Se la dimensione non è specificata, per faccia di si intende una faccia di dimensione : queste giocano un ruolo importante nella costruzione dell'omologia singolare. Il simplesso ha quindi facce opposte ai vertici .

Simplesso singolare[modifica | modifica wikitesto]

Sia uno spazio topologico Un simplesso singolare è una mappa continua

dal simplesso standard in . Anche qui è la dimensione del simplesso singolare. Il bordo -esimo del simplesso singolare è il simplesso singolare di dimensione seguente:

definito restringendo alla -esima faccia di (identificata canonicamente con ).

Complesso di catene[modifica | modifica wikitesto]

Una catena è una combinazione lineare formale di simplessi singolari (tutti della stessa dimensione ), a coefficienti interi

Il numero di elementi è variabile (purché finito) e i coefficienti sono numeri interi. Una catena non è una mappa: può essere interpretata solo astrattamente, come combinazione lineare formale di oggetti. Le catene possono essere sommate in modo naturale e formano un gruppo abeliano, indicato con . In altre parole, è il gruppo abeliano libero generato dall'insieme di tutti i simplessi singolari. Questo insieme è in generale molto grande (può avere cardinalità più che numerabile anche per spazi molto semplici).

Per definire un complesso di catene è infine necessario introdurre una mappa di bordo

per ogni . La mappa è definita su ogni simplesso singolare di dimensione nel modo seguente:

La mappa è quindi estesa per linearità a tutto .

Omologia[modifica | modifica wikitesto]

La costruzione descritta produce finalmente un complesso di catene

L'alternanza dei segni nella definizione di ha un importante effetto: la composizione di due bordi successivi è sempre la mappa banale, cioè quella che manda ogni simplesso nello zero (lo zero in è la combinazione lineare vuota). Infatti facendo due volte il bordo di un -simplesso singolare si ottiene una catena in cui ogni -sottosimplesso singolare compare due volte, ma con segni opposti. Vale quindi la proprietà

A questo punto l'omologia singolare è definita a partire da questo complesso con un procedimento standard, usato in tutte le teorie omologiche. Si definisce l'-esimo gruppo di omologia singolare come il gruppo quoziente

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]