Tetraedro

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Tetraedro
Visione tridimensionale del tetraedro regolare
Tipo {{{tipo}}}
Forma facce Triangoli
Nº facce 4
Nº spigoli 6
Nº vertici 4
Valenze vertici 3
Gruppo di simmetria Gruppo simmetrico
Duale Tetraedro
Angoli diedrali 70° 32'
Proprietà non chirale

In geometria, un tetraedro è un poliedro con quattro facce. Un tetraedro è necessariamente convesso, le sue facce sono triangolari, ha vertici e spigoli. Analogamente si può definire come solido con vertici o spigoli. Viene chiamato anche tetragono (da Dante).

Il tetraedro si può definire anche come simplesso tridimensionale, vale a dire come il solido tridimensionale col minor numero di vertici.

Il tetraedro regolare è uno dei cinque solidi platonici, cioè uno dei poliedri regolari e le sue facce sono triangoli equilateri. Esso presenta un angolo diedro di 70° 32'.

Parametri metrici[modifica | modifica wikitesto]

Alcuni parametri metrici del tetraedro regolare con spigoli di lunghezza sono i seguenti

Altezza (cioè distanza fra vertice e faccia opposta)
Angolo diedrale (circa 71°)
Area della superficie totale
Volume

La costruzione di Euclide[modifica | modifica wikitesto]

Fig. 1: determinazione dello spigolo del tetraedro inscritto nella sfera di diametro
Fig. 2: costruzione del tetraedro

Nel libro XIII dei suoi Elementi, Euclide descrive il metodo per inscrivere un tetraedro regolare in una sfera di diametro dato. La costruzione descritta da Euclide è la seguente:

Sia (vedi Fig. 1) un diametro della sfera data; lo si divida nel punto in modo che sia il doppio di . Su questo diametro si costruisca un semicerchio, si alzi la perpendicolare da e si denoti con il punto di intersezione tra tale perpendicolare e le circonferenza. Infine, si congiungano i punti .

Si replichi la stessa costruzione su due piani passanti per , con angolo diedro di 120° rispetto al piano iniziale (Fig. 2). Si traccino infine le congiungenti fra i punti , ed .

È chiaro che i vertici , , e si trovano sugli archi di cerchio costruiti sul diametro , quindi si trovano tutti sulla superficie della sfera di pari diametro. Per costruzione gli spigoli , ed sono uguali fra loro, così come lo sono gli spigoli , ed (questi ultimi determinano il triangolo equilatero alla base del tetraedro). Rimane da verificare che questi due gruppi di spigoli abbiano la stessa lunghezza.

Euclid Tetrahedron 5.svg

Nella parte alta della figura di sinistra è replicata la costruzione iniziale: per il secondo teorema di Euclide, il segmento è medio proporzionale fra i segmenti e . Supponendo (senza perdita di generalità) che il diametro del cerchio sia unitario, risulta che tali segmenti hanno le lunghezze indicate in figura, quindi:

Grazie al teorema di Pitagora si può ora calcolare la lunghezza del segmento o, per praticità, il suo quadrato:

La parte inferiore del disegno raffigura la base del tetraedro. Il segmento è cateto del triangolo rettangolo in , quindi:

Di conseguenza, i tre spigoli alla base del tetraedro e i tre spigoli che fanno capo al vertice , hanno tutti la stessa lunghezza e quindi il poliedro costruito è effettivamente inscritto nella sfera data. Si noti inoltre come da questi calcoli segua anche che il quadrato di un qualsiasi spigolo del tetraedro è pari a del quadrato del diametro .

Poliedro duale[modifica | modifica wikitesto]

Il poliedro duale del tetraedro è ancora un tetraedro. Il tetraedro regolare è l'unico dei cinque solidi platonici che è duale di sé stesso: gli altri quattro sono accoppiati dalla relazione di dualità.

Simmetrie[modifica | modifica wikitesto]

Simmetrie del tetraedro: rotazioni intorno ad un asse o riflessione rispetto ad un piano.

Il tetraedro ha simmetrie: ogni permutazione dei quattro vertici è infatti realizzata da un'unica simmetria. Il gruppo di simmetria è quindi il gruppo di permutazioni di elementi, di cardinalità . Tra queste, sono rotazioni intorno ad alcuni assi, mentre le altre invertono l'orientazione dello spazio.

Le simmetrie rotatorie (inclusa l'identità) formano un sottogruppo, isomorfo al gruppo alternante . L'asse di rotazione di una simmetria può collegare il centro di una faccia con un vertice opposto ( possibilità), oppure i punti medi di due spigoli opposti ( possibilità). Intorno ad un asse del primo tipo possono essere effettuate rotazioni di 120° o 240°, mentre intorno ad un asse del secondo tipo la rotazione è di 180°. In totale, si ottengono quindi rotazioni, cui va aggiunta l'identità per ottenere tutte le simmetrie rotatorie.

Le 12 simmetrie rotatorie del tetraedro. Oltre all'identità, vi sono rotazioni lungo assi passanti per i vertici e lungo assi che collegano spigoli opposti.

Numerando i vertici del tetraedro con , , e , le rotazioni di 120° e 240° corrispondo alle permutazioni

ovvero ai cicli di ordine . Le rotazioni di 180° invece corrispondono alle permutazioni

ottenute come prodotto di -cicli indipendenti.

Delle simmetrie che non preservano l'orientazione, sono riflessioni lungo piani: ciascun piano contiene uno spigolo e il punto medio dello spigolo opposto (come nella figura a destra). Queste corrispondono ai cicli di ordine

Infine, le altre simmetrie sono composizioni di riflessioni lungo piani e rotazioni, e corrispondono ai cicli di ordine

Generalizzazioni[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Simplesso.

Il simplesso è un oggetto che generalizza la nozione di tetraedro in dimensione arbitraria. Si tratta dell'unico politopo -dimensionale avente vertici, mentre ogni altro politopo ne ha una quantità maggiore. Per il simplesso è rispettivamente un segmento, un triangolo e un tetraedro.

Einstein e il tetraedro[modifica | modifica wikitesto]

Un tetraedro regolare.

Esiste un curioso aneddoto riguardo Albert_Einstein [1]: ad un convegno di fisici, subissato dalle critiche per la sua balzana concezione di uno spaziotempo a quattro dimensioni, egli propose il seguente problema:

Dati sei stuzzicadenti, costruire quattro triangoli equilateri.

Nessuno dei presenti riuscì a posizionare su di un piano gli stuzzicadenti per formare i triangoli richiesti, il che è infatti impossibile, al che Einstein compose un tetraedro coi sei stuzzicadenti e disse:

Se non sapete usare la terza dimensione, che sperimentate tutti i giorni, come sperate di capire la quarta?

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Altri progetti[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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  1. ^ Maria Toffetti, Campo estivo per giovani geni, A.Mondadori, 2009.