Cuspide (poliedro)

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In un tetraedro, i 4 vertici hanno la stessa struttura locale (cuspide).

In geometria, la cuspide di un poliedro indica la struttura locale del poliedro vicino ad un vertice. Più in generale, è possibile definire una nozione di cuspide per un vertice di un qualsiasi politopo a dimensione arbitraria (e quindi anche per un poligono). In italiano è spesso usata anche la versione inglese star.

Valenze[modifica | modifica wikitesto]

Anche nell'icosidodecaedro ogni vertice ha la stessa struttura locale.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

La valenza di un vertice di un poliedro è il numero di spigoli (o facce) adiacenti.

In un politopo di dimensione arbitraria, ogni vertice ha valenze : qui indica il numero di facce -dimensionali adiacenti al vertice.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

In una piramide a base quadrata invece c'è un vertice che ha valenza , mentre gli altri quattro hanno valenza .

Poiché vi è un unico politopo adiacente al vertice, l'ultimo valore è sempre .

In un poligono, le valenze sono sempre . In un poliedro, sono , dove è la valenza definita inizialmente.

A proposito di , affinché la dimensione sia , ci devono essere almeno spigoli adiacenti a ciascun vertice, e quindi .

Base della cuspide[modifica | modifica wikitesto]

La struttura locale del poliedro vicino ad un vertice è codificata dall'intersezione del poliedro con una piccola sfera centrata nel vertice. Spigoli e facce del poliedro intersecano questa sfera in un poligono con spigoli curvi, con numero di vertici (o spigoli) pari alla valenza.

Tale intersezione, definita per i vertici di un politopo di dimensione arbitraria, è la base della cuspide, detta anche link.

Analogamente si può definire una base "dritta" prendendo su ogni spigolo un punto che disti dal vertice una lunghezza fissata piccola; collegando questi punti tramite segmenti si ottiene un poligono vero e proprio. Se questo è regolare il vertice è un vertice regolare.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

In un cubo, ogni vertice ha valenze .

Poligoni[modifica | modifica wikitesto]

Ogni vertice di un poligono è adiacente a due spigoli, ed al poligono stesso. Quindi e .

Nel quadrato, la base della cuspide di ciascuno dei quattro vertici è un arco nella circonferenza di ampiezza uguale a radianti (pari a 90°).

Poliedri[modifica | modifica wikitesto]

I solidi regolari hanno le stesse cuspidi ad ogni vertice (eventualmente ruotate nello spazio).

Nel cubo, vale .

Politopi[modifica | modifica wikitesto]

Nell'ipercubo, vale . La base della cuspide di ciascuno dei sedici vertici è un tetraedro sferico regolare.

In generale, in un cubo di dimensione , il valore non dipende dal vertice ed è dato dal coefficiente binomiale

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