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Radiante

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Nota disambigua.svg Disambiguazione – Se stai cercando altri significati, vedi Radiante (astronomia).
Nota disambigua.svg Disambiguazione – Se stai cercando unità di misura della dose di radiazione assorbita, vedi Rad (unità di misura).
Un angolo misurato in radianti.

Il radiante (generalmente indicato rad quando necessario), è l'unità di misura dell'ampiezza degli angoli del Sistema internazionale di unità di misura. Tale misura rappresenta il rapporto tra la lunghezza dell'arco di circonferenza tracciato dall'angolo e la lunghezza del raggio di tale circonferenza; essendo il rapporto tra due grandezze omogenee è un numero puro.

Definizione di radiante[modifica | modifica wikitesto]

Un arco di un cerchio della stessa lunghezza del raggio dello stesso cerchio corrisponde a un angolo di 1 radiante. Un cerchio intero corrisponde a un angolo di 2π radianti.
Alcuni angoli misurati in radianti

Si prenda una circonferenza con centro nel vertice dell'angolo e il suo arco intercettato dalle due semirette che formano l'angolo. Chiameremo la lunghezza di tale arco, quella del raggio, quella della circonferenza e l'ampiezza dell'angolo descritto dall'arco.

Da ciò si evince che il radiante è un numero puro, ossia è adimensionale, dato che esprime il rapporto fra due lunghezze.

Infatti: [rad] = [m] / [m] = [1].

Definiamo come radiante l'ampiezza dell'angolo che sottende un arco di circonferenza che, rettificato, abbia lunghezza uguale al raggio della circonferenza stessa. In parole povere un radiante è l'angolo che si ha in corrispondenza di un arco di lunghezza pari al raggio della circonferenza.

Essendo la lunghezza della circonferenza pari a e il raggio lungo , l'angolo di un cerchio equivale a .

Ricordando che la misura della lunghezza della circonferenza è:

si può scrivere la seguente proporzione:

risulta funzione di :

ovvero

da cui

Dunque, ponendo , dall'equazione precedente si ottiene:

Esprimiamo ora un angolo giro in radianti:

Con la seguente proporzione si ottengono le formule per passare da radianti a gradi sessagesimali e viceversa:

Utilità della scelta del radiante[modifica | modifica wikitesto]

La misura del radiante consente di avere formule trigonometriche molto più semplici di quelle che si avrebbero adottando i gradi sessagesimali o altre unità di misura degli angoli.

Sostanzialmente i vantaggi del radiante derivano dal fatto che, con tale unità si ottiene la semplice espressione

e da questa si ottengono molte altre eleganti identità del calcolo infinitesimale che hanno importanti conseguenze pratiche. Tra queste

.

Se si misurassero gli angoli in gradi o in altre unità di misura, formule come le precedenti dovrebbero essere appesantite da costanti di conversione e da loro potenze.

Conversione gradi-radianti[modifica | modifica wikitesto]

Schema per la conversione gradi-radianti

Un radiante è pari a gradi. Per convertire radianti in gradi è quindi sufficiente moltiplicare per :

Ad esempio:

Analogamente, per convertire gradi in radianti si moltiplica per π/180:

Ad esempio:

gradi radianti
0 0
15 π /12
30 π /6
45 π /4
60 π /3
90 π /2
120 2/3 π
135 3/4 π
150 5/6 π
gradi radianti
180 π
210 7/6 π
225 5/4 π
240 4/3 π
270 3/2 π
300 5/3 π
315 7/4 π
330 11/6 π
360

Si ha quindi:

1 rad = 57,29577 95131 gradi = 3437,74677 07849 primi = 206264,80625 secondi
1 grado = 0,01745 32925 19943 rad;
1 primo = 0,00029 08882 08666 rad
1 secondo = 0,00000 48481 36811 rad

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • G.Zwirner, L. Scaglianti, Itinerari di Matematica Volume primo, Padova, Cedam, 1989, ISBN 88-13-16794-6

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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