Ipercubo

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Rappresentazione tridimensionale di un ipercubo quadridimensionale.
Studio di un ipercubo quadridimensionale costruito in prospettiva.
Proiezioni ortogonali di tutti gli ipercubi dal bidimensionale (quadrato) al decadimensionale (decheratto).

L'ipercubo (o n-cubo) è una forma geometrica regolare immersa in uno spazio di quattro o più dimensioni.

L'ipercubo è un politopo (l'analogo multidimensionale di poligoni e poliedri), che generalizza in dimensione più alta i concetti di punto, segmento, quadrato e cubo, appartenenti rispettivamente alle dimensioni 0, 1, 2 e 3.

Il prefisso "iper", usato per indicare una generalizzazione in dimensioni superiori a 3, è usato anche per altre figure geometriche, come l'ipersfera e l'iperpiano. In alcuni testi il prefisso è sostituito dalla dimensione, e si parla quindi di n-cubo o n-sfera: un quadrato per esempio è un 2-cubo mentre un cubo è un 3-cubo.

In dimensione 4, l'ipercubo è chiamato tesseratto (dal greco τέσσερις ακτίνες, ovvero "quattro raggi", con riferimento ai quattro spigoli che si dipartono da ogni vertice della figura): è costituito da 24 facce bidimensionali quadrate, e da 8 facce 3-dimensionali cubiche.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

L'ipercubo di dimensione n è il politopo contenuto nello spazio euclideo n-dimensionale , definito da

Si tratta quindi dell'insieme formato da tutti i punti aventi coordinate tra -1 e 1. L'origine appartiene all'ipercubo ed è il suo centro.

Le facce -dimensionali dell'ipercubo sono le intersezioni non vuote di con iperpiani distinti di equazione del tipo

Per una faccia -dimensionale è chiamata rispettivamente vertice e spigolo.

Caratteristiche[modifica | modifica wikitesto]

Facce[modifica | modifica wikitesto]

Una -faccia di un ipercubo -dimensionale è essa stessa un ipercubo, di dimensione .

Vertici[modifica | modifica wikitesto]

L'ipercubo n-dimensionale ha vertici: questi sono tutti i punti aventi oppure in ogni coordinata. Ad esempio, il cubo 3-dimensionale ha 8 vertici, dati da

ed il tesseratto ha vertici.

Spigoli[modifica | modifica wikitesto]

L'ipercubo n-dimensionale ha spigoli. Il tesseratto, ad esempio, ha spigoli.

Facce di dimensione generica k[modifica | modifica wikitesto]

Le facce di dimensione massima formano sotto-ipercubi di dimensione , dati dalle intersezioni di con i iperpiani di equazione , al variare di e del segno . Ad esempio, il quadrato ha 4 "facce" (gli spigoli), il cubo ha 6 facce (dei quadrati), ed il tesseratto ne ha 8: queste 8 facce sono cubi tridimensionali.

Si può dimostrare che il numero di facce k-dimensionali di un ipercubo n-dimensionale è uguale a

Raccogliendo il , si ottiene: .

I termini si possono riscrivere come:, quindi la formula diventa:

.

In pratica, sviluppando la potenza del binomio secondo lo schema generico (ordinato per potenze di "a" decrescenti) si ha, nell'ordine, il numero di facce di dimensione 0,1,2,...,n dell'ipercubo n-dimensionale; ad esempio, per il tesseratto:

cioè 16 vertici, 32 spigoli, 24 facce, 8 volumi, (1 ipercubo 4-dimensionale).

Inoltre, in un ipercubo n-dimensionale la somma del numero dei suoi elementi delle varie dimensioni (vertici, spigoli, facce, volumi, ecc) è uguale a .

Possibilità di astrazione[modifica | modifica wikitesto]

È noto che un cubo può essere ottenuto traslando perpendicolarmente a se stesso un quadrato al di fuori del piano che lo contiene, esattamente come un quadrato è la traslazione di un segmento lungo una direzione ad esso perpendicolare. Analogamente, un ipercubo quadridimensionale si ottiene traslando perpendicolarmente a se stesso un cubo. Per rendersi conto dell'impossibilità di visualizzazione di un ipercubo quadridimensionale da parte di un essere umano, "nato e cresciuto" in uno spazio tridimensionale, possiamo soffermarci proprio su quest'ultimo esempio, e in particolare sulla condizione, impossibile per noi da concepire, di perpendicolarità rispetto ad un solido tridimensionale. Se un ipotetico essere bidimensionale (trascurando ovviamente il fatto che, non essendo dotato di materia, non potrebbe nemmeno esistere) che vivesse per semplicità su un foglio di carta, sul quale vi sia disegnato un quadrato, si sforzasse di immaginare un cubo tridimensionale cercando di visualizzare mentalmente la direzione lungo la quale bisognerebbe traslare tale quadrato per ottenere il cubo, non riuscirebbe mai a concepire una direzione uscente dal foglio e ortogonale al quadrato, in quanto non appartenente al suo universo spaziale. Riuscirebbe invece solamente a concentrarsi sulle infinite direzioni giacenti sul foglio, ma non a quella che genera il cubo. Parimenti, per noi è del tutto impossibile immaginare una direzione uscente dal nostro spazio tridimensionale, lungo la quale un cubo debba essere traslato per generare un ipercubo. Se tentassimo di immaginare tale possibile direzione, continueremmo senza alcun successo a cercarla tra le infinite rette che passano per lo spazio, esattamente come l'essere bidimensionale di cui sopra riuscirebbe soltanto ad immaginare le infinite rette che passano lungo il piano su cui vive. Tuttavia, è interessante notare come, pur non essendo possibile visualizzare e concepire questo genere di solidi, ne si possano comunque studiare le proprietà matematiche e geometriche, quali ad esempio i loro iper-volumi o le loro iper-superfici, esattamente come l'essere bidimensionale dell'esempio precedente, pur non potendo assolutamente concepire un cubo tridimensionale, lo possa studiare come oggetto matematico alla pari di quanto possiamo fare noi con l'ipercubo.

Principali ipercubi[modifica | modifica wikitesto]

L'ipercubo nella cultura popolare[modifica | modifica wikitesto]

Pittura[modifica | modifica wikitesto]

Corpus Hypercubus, dipinto di Salvador Dalí, rappresenta Cristo crocifisso sullo sviluppo tridimensionale di un tesseratto.

Letteratura[modifica | modifica wikitesto]

  • Una casa tesserattica è la protagonista del racconto matematico di Robert Heinlein La casa nuova. In questo racconto umoristico l'architetto e i suoi proprietari si trovano in difficoltà nel muoversi nelle stanze e a spostarsi tra l'interno e l'esterno dell'innovativa abitazione. In particolare la casa è un ipercubo sviluppato nello spazio, perciò consta di 4 stanze cubiche disposte una sull'altra (4 piani) e quattro stanze disposte come dei balconi intorno alla stanza al primo piano. Il problema è che questa casa è costruita nei pressi della Faglia di Sant'Andrea, e mentre i visitatori sono tutti all'interno un terremoto "richiude" la casa su sé stessa (nella quarta dimensione) facendo sì che nessuno riesca più ad uscire.
  • Nel romanzo di Robert J. Sawyer I transumani (titolo originale Factoring Humanity) una professoressa dell'università di Toronto è impegnata nella sfida di decifrare un enigmatico messaggio alieno.
  • Charles Howard Hinton ha dedicato la maggior parte della sua opera letteraria all'esplorazione della quarta dimensione.

Musica[modifica | modifica wikitesto]

Cinema[modifica | modifica wikitesto]

Fumetti[modifica | modifica wikitesto]

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ https://www.youtube.com/watch?v=Ar7F4A9JuKs

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Altri progetti[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]