Ipercubo

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Rappresentazione tridimensionale di un ipercubo quadridimensionale
Studio di un ipercubo di 4º livello costruito in prospettiva

L'ipercubo (o n-cubo) è una forma geometrica regolare immersa in uno spazio di quattro o più dimensioni.

L'ipercubo è un politopo (l'analogo multidimensionale di poligoni e poliedri), che generalizza in dimensione più alta i concetti di punto, segmento, quadrato e cubo, appartenenti rispettivamente alle dimensioni 0, 1, 2 e 3.

Il prefisso "iper", usato per indicare una generalizzazione in dimensioni superiori a 3, è usato anche per altre figure geometriche, come l'ipersfera e l'iperpiano. In alcuni testi il prefisso è sostituito dalla dimensione, e si parla quindi di n-cubo o n-sfera: un quadrato per esempio è un 2-cubo mentre un cubo è un 3-cubo.

In dimensione 4, l'ipercubo è chiamato anche tesseratto ('dal greco τέσσερις ακτίνες ovvero "quattro raggi"): è costituito da 24 facce bidimensionali quadrate, e da 8 facce 3-dimensionali cubiche.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

L'ipercubo di dimensione n è il politopo C contenuto nello spazio euclideo n-dimensionale \R^n, definito da

C = \{(x_1,\ldots,x_n)\ |\ |x_i|\leqslant 1\ \forall i=1,\ldots,n\}.

Si tratta quindi dell'insieme formato da tutti i punti aventi coordinate tra -1 e 1. L'origine (0,\ldots,0) appartiene all'ipercubo ed è il suo centro.

Le facce k-dimensionali dell'ipercubo sono le intersezioni non vuote di C con n-k iperpiani distinti di equazione del tipo

x_i = \pm 1.

Per k=0,1 una faccia k-dimensionale è chiamata rispettivamente vertice e spigolo.

Caratteristiche[modifica | modifica wikitesto]

Facce[modifica | modifica wikitesto]

Una k-faccia di un ipercubo n-dimensionale C è essa stessa un ipercubo, di dimensione k.

Vertici[modifica | modifica wikitesto]

L'ipercubo n-dimensionale C ha 2^n vertici: questi sono tutti i punti aventi +1 oppure -1 in ogni coordinata. Ad esempio, il cubo 3-dimensionale ha 8 vertici, dati da

(1,1,1), (1,1,-1), (1,-1,1), (1,-1,-1), (-1,1,1), (-1,1,-1), (-1,-1,1), (-1,-1,-1)

ed il tesseratto ha 16 vertici.

Spigoli[modifica | modifica wikitesto]

L'ipercubo n-dimensionale C ha n2^n/2 spigoli. Il tesseratto, ad esempio, ha 32 spigoli.

Facce di dimensione generica k[modifica | modifica wikitesto]

Le facce di dimensione massima k=n-1 formano 2n sotto-ipercubi di dimensione n-1, dati dalle intersezioni di C con i 2n iperpiani di equazione x_i =\pm 1 , al variare di i=1,\ldots,n e del segno \pm 1 . Ad esempio, il quadrato ha 4 "facce" (gli spigoli), il cubo ha 6 facce (dei quadrati), ed il tesseratto ne ha 8: queste 8 facce sono cubi tridimensionali.

Si può dimostrare che il numero di facce k-dimensionali di un ipercubo n-dimensionale è uguale a {n-k\mbox{ numeri}} \atop {\overbrace{\frac{2n\cdot2(n-1)\cdot...\cdot2(k+1)}{(n-k)!}}}

Raccogliendo il 2, si ottiene: \frac{2^{n-k}\cdot n(n-1)\cdot...\cdot(k+1)}{(n-k)!}.

I termini n(n-1)\cdot...\cdot(k+1) si possono riscrivere come:\frac{n!}{k!}, quindi la formula diventa:

\frac{2^{n-k}n!}{k!(n-k)!}=2^{n-k}{n \choose k}.

Tesseratto[modifica | modifica wikitesto]

Una proiezione del tesseratto nel piano può essere realizzata disegnando due cubi paralleli, e collegando i corrispettivi vertici con dei segmenti.

Il tesseratto ha 16 vertici, 32 spigoli, 24 facce quadrate e 8 facce tridimensionali cubiche.

Su ogni vertice incidono 4 spigoli, 6 facce quadrate e 4 facce cubiche.

La sua caratteristica di Eulero è 16-32+24-8=0.

Proiezione nel piano[modifica | modifica wikitesto]

Sviluppo di un ipercubo

Ogni ipercubo n-dimensionale è ottenuto "congiungendo" due ipercubi (n-1)-dimensionali paralleli. Infatti:

  • ipercubo unidimensionale: è un segmento AB, ottenuto congiungendo due punti A e B con una linea,
  • bidimensionale: due segmenti paralleli AB e CD possono essere congiunti formando un quadrato, con vertici denominati ABCD
  • tridimensionale: due quadrati paralleli ABCD ed EFGH possono essere congiunti formando un cubo, con i vertici denominati ABCDEFGH
  • quadridimensionale: due cubi paralleli ABCDEFGH ed IJKLMNOP possono essere congiunti formando un ipercubo, con vertici denominati ABCDEFGHIJKLMNOP.

Per questo motivo una proiezione del tesseratto nel piano è come in figura, realizzata congiungendo due cubi "paralleli".

Una rotazione del tesseratto lungo un piano in \R^4.
Una rotazione simultanea del tesseratto lungo due piani ortogonali in \R^4.

Sviluppo[modifica | modifica wikitesto]

Il tesseratto si può sviluppare in 8 cubi, proprio come un cubo si può sviluppare in 6 quadrati.

Rotazioni[modifica | modifica wikitesto]

Come ogni altro poliedro e politopo, il tesseratto può essere ruotato nello spazio quadri-dimensionale \R^4 in cui giace. L'effetto di una tale rotazione può essere visto in una proiezione del tesseratto nello spazio o nel piano, come mostrato nelle figure.

Dualità[modifica | modifica wikitesto]

Il politopo duale del tesseratto è l'iperottaedro.

Origine del termine "tesseratto"[modifica | modifica wikitesto]

Il termine "tesseratto" (in originale "tesseract") riferito alla realtà spaziale in cui vive l'uomo, è stato coniato e usato per la prima volta da Hinton nel 1888 nel suo libro Una nuova era del pensiero[1]. Nel saggio Casting out of the self, del 1904, Hinton ha inventato anche il termine "katà" (dal greco: giù da) e "anà" (dal greco: su verso) per descrivere le direzioni quadridimensionali, nonché un sistema di cubi colorati con cui esercitarsi per arrivare a visualizzare la quarta dimensione.

L'ipercubo nella cultura popolare[modifica | modifica wikitesto]

Letteratura[modifica | modifica wikitesto]

  • Una casa tesseract è la protagonista del racconto matematico di Robert Heinlein La casa nuova. In questo racconto umoristico l'architetto e i suoi proprietari si trovano in difficoltà nel muoversi nelle stanze e a spostarsi tra l'interno e l'esterno dell'innovativa abitazione. In particolare la casa è un ipercubo sviluppato nello spazio, perciò consta di 4 stanze cubiche disposte una sull'altra (4 piani) e quattro stanze disposte come dei balconi intorno alla stanza al primo piano. Il problema è che questa casa è costruita nei pressi della Faglia di Sant'Andrea, e mentre i visitatori sono tutti all'interno un terremoto "richiude" la casa su sé stessa (nella quarta dimensione) facendo sì che nessuno riesca più ad uscire.
  • Nel romanzo di Robert J. Sawyer I transumani (titolo originale Factoring Humanity) una professoressa dell'università di Toronto è impegnata nella sfida di decifrare un enigmatico messaggio alieno.
  • Charles Howard Hinton ha dedicato la maggior parte della sua opera letteraria all'esplorazione della quarta dimensione.

Cinema[modifica | modifica wikitesto]

  • Evangelion: 3.0 You Can (Not) Redo (2012), la bara contenente l'unità Evangelion 01, nello spazio, ricorda lo sviluppo di un ipercubo.

Fumetti[modifica | modifica wikitesto]

  • Nell'albo n° 63 di Dylan Dog intitolato Maelstrom!, il raduno delle streghe si deve tenere in una casa che si rivela essere un tesseratto.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ fonte: Oxford English Dictionary

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Altri progetti[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]