Ipercubo

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Rappresentazione tridimensionale di un ipercubo quadridimensionale.
Studio di un ipercubo quadridimensionale costruito in prospettiva.
Proiezioni ortogonali di tutti gli ipercubi dal bidimensionale al decadimensionale.

L'ipercubo (o n-cubo) è una forma geometrica regolare immersa in uno spazio di quattro o più dimensioni.

L'ipercubo è un politopo (l'analogo multidimensionale di poligoni e poliedri), che generalizza in dimensione più alta i concetti di punto, segmento, quadrato e cubo, appartenenti rispettivamente alle dimensioni 0, 1, 2 e 3.

Il prefisso "iper", usato per indicare una generalizzazione in dimensioni superiori a 3, è usato anche per altre figure geometriche, come l'ipersfera e l'iperpiano. In alcuni testi il prefisso è sostituito dalla dimensione, e si parla quindi di n-cubo o n-sfera: un quadrato per esempio è un 2-cubo mentre un cubo è un 3-cubo.

In dimensione 4, l'ipercubo è chiamato tesseratto (dal greco τέσσερις ακτίνες, ovvero "quattro raggi"): è costituito da 24 facce bidimensionali quadrate, e da 8 facce 3-dimensionali cubiche.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

L'ipercubo di dimensione n è il politopo C contenuto nello spazio euclideo n-dimensionale \R^n, definito da

C = \{(x_1,\ldots,x_n)\ |\ |x_i|\leqslant 1\ \forall i=1,\ldots,n\}.

Si tratta quindi dell'insieme formato da tutti i punti aventi coordinate tra -1 e 1. L'origine (0,\ldots,0) appartiene all'ipercubo ed è il suo centro.

Le facce k-dimensionali dell'ipercubo sono le intersezioni non vuote di C con n-k iperpiani distinti di equazione del tipo

x_i = \pm 1.

Per k=0,1 una faccia k-dimensionale è chiamata rispettivamente vertice e spigolo.

Caratteristiche[modifica | modifica wikitesto]

Facce[modifica | modifica wikitesto]

Una k-faccia di un ipercubo n-dimensionale C è essa stessa un ipercubo, di dimensione k.

Vertici[modifica | modifica wikitesto]

L'ipercubo n-dimensionale C ha 2^n vertici: questi sono tutti i punti aventi +1 oppure -1 in ogni coordinata. Ad esempio, il cubo 3-dimensionale ha 8 vertici, dati da

(1,1,1), (1,1,-1), (1,-1,1), (1,-1,-1), (-1,1,1), (-1,1,-1), (-1,-1,1), (-1,-1,-1)

ed il tesseratto ha 16 vertici.

Spigoli[modifica | modifica wikitesto]

L'ipercubo n-dimensionale C ha n2^n/2 spigoli. Il tesseratto, ad esempio, ha 32 spigoli.

Facce di dimensione generica k[modifica | modifica wikitesto]

Le facce di dimensione massima k=n-1 formano 2n sotto-ipercubi di dimensione n-1, dati dalle intersezioni di C con i 2n iperpiani di equazione x_i =\pm 1 , al variare di i=1,\ldots,n e del segno \pm 1 . Ad esempio, il quadrato ha 4 "facce" (gli spigoli), il cubo ha 6 facce (dei quadrati), ed il tesseratto ne ha 8: queste 8 facce sono cubi tridimensionali.

Si può dimostrare che il numero di facce k-dimensionali di un ipercubo n-dimensionale è uguale a {n-k\mbox{ numeri}} \atop {\overbrace{\frac{2n\cdot2(n-1)\cdot...\cdot2(k+1)}{(n-k)!}}}

Raccogliendo il 2, si ottiene: \frac{2^{n-k}\cdot n(n-1)\cdot...\cdot(k+1)}{(n-k)!}.

I termini n(n-1)\cdot...\cdot(k+1) si possono riscrivere come:\frac{n!}{k!}, quindi la formula diventa:

\frac{2^{n-k}n!}{k!(n-k)!}=2^{n-k}{n \choose k}.

In pratica, sviluppando la potenza del binomio (2+1)^n secondo lo schema generico (a+b)^n (ordinato per potenze di "a" decrescenti) si ha, nell'ordine, il numero di facce di dimensione 0,1,2,...,n dell'ipercubo n-dimensionale; ad esempio, per il tesseratto:

(a+b)^4=a^4+4a^3 b+6a^2b^2 +4 a b^3+b^4 =>  (2+1)^4=16 +32+24+8+1

cioè 16 vertici, 32 spigoli, 24 facce, 8 volumi, (1 ipercubo 4-dimensionale).

Inoltre, in un ipercubo n-dimensionale la somma del numero dei suoi elementi delle varie dimensioni (vertici, spigoli, facce, volumi, ecc) è uguale a 3^n.

Principali ipercubi[modifica | modifica wikitesto]

L'ipercubo nella cultura popolare[modifica | modifica wikitesto]

Pittura[modifica | modifica wikitesto]

Corpus Hypercubus, dipinto di Salvador Dalí, rappresenta Cristo crocifisso sullo sviluppo tridimensionale di un tesseratto.

Letteratura[modifica | modifica wikitesto]

  • Una casa tesserattica è la protagonista del racconto matematico di Robert Heinlein La casa nuova. In questo racconto umoristico l'architetto e i suoi proprietari si trovano in difficoltà nel muoversi nelle stanze e a spostarsi tra l'interno e l'esterno dell'innovativa abitazione. In particolare la casa è un ipercubo sviluppato nello spazio, perciò consta di 4 stanze cubiche disposte una sull'altra (4 piani) e quattro stanze disposte come dei balconi intorno alla stanza al primo piano. Il problema è che questa casa è costruita nei pressi della Faglia di Sant'Andrea, e mentre i visitatori sono tutti all'interno un terremoto "richiude" la casa su sé stessa (nella quarta dimensione) facendo sì che nessuno riesca più ad uscire.
  • Nel romanzo di Robert J. Sawyer I transumani (titolo originale Factoring Humanity) una professoressa dell'università di Toronto è impegnata nella sfida di decifrare un enigmatico messaggio alieno.
  • Charles Howard Hinton ha dedicato la maggior parte della sua opera letteraria all'esplorazione della quarta dimensione.

Musica[modifica | modifica wikitesto]

Il gruppo musicale djent britannico Tesseract prende il nome proprio dall'ipercubo quadridimensionale.

Cinema[modifica | modifica wikitesto]

Fumetti[modifica | modifica wikitesto]

Note[modifica | modifica wikitesto]


Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Altri progetti[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]