Quadrato

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In geometria, il quadrato è un quadrilatero regolare, cioè un poligono con quattro lati e quattro angoli congruenti (tutti retti).

Il quadrato è un caso particolare di rombo (in quanto ha tutti e quattro i lati congruenti) e di rettangolo (in quanto ha quattro angoli congruenti) quindi è un caso particolare di parallelogramma (in quanto ha i lati a due a due paralleli).

Caratteristiche principali[modifica | modifica wikitesto]

Le diagonali di un quadrato sono congruenti e perpendicolari, il loro punto di intersezione le divide a metà e misurano come il lato moltiplicato per la radice quadrata di 2:

\mbox{diagonale} = \mbox{lato} \cdot \sqrt 2

Questa formula si dimostra con il teorema di Pitagora. Ciascuna diagonale, infatti, divide il quadrato in due triangoli rettangoli per i quali vale che la somma dei quadrati costruiti sui cateti è equivalente al quadrato costruito sull'ipotenusa (che è la diagonale).

AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt {l^2 + l^2} = \sqrt{2 \cdot l^2} = l\cdot\sqrt{2} .

Il perimetro di un quadrato, visto che ha tutti i lati congruenti, misura:

\mbox{lato}\cdot 4

L'area di un quadrato, visto che l'altezza e la base sono congruenti, misura:

\mbox{lato}^2

ma si può calcolare anche come

\frac{\mbox{diagonale}^2}{2} per il teorema di Pitagora.

Da ciò si deduce che la diagonale di un quadrato di area a è il lato del quadrato con Area 2a.

Il quadrato possiede 4 assi di simmetria: 2 passanti per una coppia di vertici opposti e 2 passanti per una coppia di punti medi dei lati.

Il punto di intersezione delle due diagonali è detto centro del quadrato ed è centro di simmetria di rotazione e di simmetria centrale per il quadrato. L'ordine della simmetria di rotazione del quadrato è 4; in altre parole, il quadrato è invariante per le rotazioni intorno al suo centro relative agli angoli k\frac\pi2  \mbox{rad} = k 90^\circ \mbox{ per } k=0,1,2,3; naturalmente la rotazione di \,\pi radianti è la simmetria centrale.

Equazione di un quadrato su un piano cartesiano[modifica | modifica wikitesto]

Il quadrato Q di lato 2 e centro l'origine può essere descritto in vari modi. Ad esempio:

Q=\big\{(x,y)\ \big|\ |x|\leq 1, |y|\leq 1\big\}.

Il suo bordo è quindi

\partial Q=\big\{(x,y)\ \big|\ |x|=1, |y|\leq 1\}\cup\{(x,y)\ |\ |y|=1, |x|\leq 1\big\}.

Questo può essere anche descritto come

\partial Q =\big\{(x,y)\ \big|\ 0<\lim_{n\rightarrow \infty} x^{2n}+y^{2n}<\infty\big\}. In matematica, questo quadrato rappresenta la palla unitaria del piano rispetto alla norma uniforme.

Più in generale, l'equazione cartesiana di un quadrato avente centro nell'origine degli assi è: Q: \big|ax+by| + |bx-ay|  \leq 1, \quad\ a \ne\ 0 \ \lor\ b \ne\ 0

Se si considera invece il centro del quadrato nel punto di coordinate  \big(x_0,y_0) l'equazione diventa:

Q: \big|a(x-x_0)+b(y-y_0)| + |b(x-x_0)-a(y-y_0)|  \leq 1

da cui:

Q: \big|ax+by-ax_0 -by_0| + |bx-ay-bx_0+ay_0|  \leq 1

ovvero nella forma più generale possibile:

Q: \big|ax+by+p| + |bx-ay+q|  \leq 1, \quad\ a \ne\ 0 \ \lor\ b \ne\ 0


Il cui bordo è quindi:

Q: \big|ax+by+p| + |bx-ay+q|  = 1, \quad\ a \ne\ 0 \ \lor\ b \ne\ 0

Esistenza del quadrato[modifica | modifica wikitesto]

Un "quadrato" nel piano iperbolico con angoli acuti tutti congruenti

Una dimostrazione costruttiva dell'esistenza del quadrato è data da Euclide nella proposizione 46 del I libro degli Elementi, subito prima di usare questa figura nell'enunciare e dimostrare il teorema di Pitagora. Nella tradizione didattica moderna l'esistenza dei quadrati è invece in genere data per scontata. Bisogna notare che la dimostrazione euclidea usa indirettamente il V postulato e l'esistenza di quadrati non è garantita nelle geometrie non euclidee.

Ad esempio, in geometria iperbolica non esistono poligoni con quattro lati uguali e quattro angoli retti: la somma degli angoli interni di un quadrilatero iperbolico è infatti sempre strettamente minore di un angolo giro. Esistono comunque "quadrati" nel piano iperbolico se si richiede solamente che i quattro angoli siano congruenti (ma non retti): per ogni numero reale \alpha strettamente minore di \pi/2 esiste infatti un poligono con quattro lati congruenti e quattro angoli congruenti pari a \alpha.

Costruzione[modifica | modifica wikitesto]

Un quadrato può essere inscritto in una circonferenza con riga e compasso. Qui sotto ne è mostrata un'animazione:

Costruzione del quadrato inscritto nella circonferenza

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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