Ipersfera

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Proiezione stereografica dei paralleli (rosso), meridiani (blu) e ipermeridiani (verde) di una ipersfera. Grazie alla proprietà di proiezione conforme della sterografica, i tre tipi di curva si intersecano in modo ortogonale fra di loro (nei punti gialli), come succede in 4 dimensioni. Tutte le curve succitate sono circonferenze: quelle che passano per il centro di proiezione <0,0,0,1> hanno raggio infinito (sono linee rette).

In matematica, e in particolare in geometria, una ipersfera è l'analogo di una sfera in più di tre dimensioni. Una ipersfera di raggio nello spazio euclideo -dimensionale consiste di tutti i punti che hanno distanza da un dato punto fissato , chiamato centro dell'ipersfera

e rappresenta quindi un'ipersuperficie, ossia una varietà -dimensionale immersa nello spazio -dimensionale. Per tale motivo, su alcuni testi, viene indicata con invece che . In questo articolo, sarà indicata con , per rendere più chiare alcune relazioni matematiche.

Nello spazio euclideo, l'ipersfera è la frontiera della palla -dimensionale chiusa, che è l'insieme di tutti i punti che hanno distanza minore o uguale a da un dato punto

e racchiude la palla -dimensionale aperta che è l'insieme di tutti i punti che hanno distanza minore di da un dato punto

Per esempio:

  • nello spazio euclideo -dimensionale, ossia la retta, è una coppia di punti che delimita che è un segmento;
  • nello spazio euclideo -dimensionale, ossia il piano, è una circonferenza che delimita che è un cerchio;
  • nello spazio euclideo -dimensionale, è una superficie sferica che delimita che è l'interno della sfera.

Rappresentazione di un'ipersfera[modifica | modifica wikitesto]

In coordinate cartesiane , l'equazione

di un'ipersfera di centro e raggio si scrive

Un'ipersfera di raggio e centro può essere anche rappresentata in forma parametrica mediante le seguenti equazioni:

dove l'ultima variabile angolare varia in un intervallo di ampiezza mentre le altre variano un intervallo di ampiezza .

Ipervolume e ipersuperficie[modifica | modifica wikitesto]

Quando si parla di "volume", o più propriamente di ipervolume, di una ipersfera , in realtà ci si riferisce alla misura -dimensionale della corrispondente palla . Invece, quando si parla di "area superficiale", o più propriamente di misura ipersuperficiale, di una ipersfera , ci si riferisce alla sua misura -dimensionale. Come misura, solitamente, si considera la misura di Lebesgue.

Chiarito ciò, si dimostra che l'ipervolume dell'ipersfera è dato da:

dove denota la funzione gamma.

Invece la misura ipersuperficiale dell'ipersfera è data da:

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Calcolo della misura ipersuperficiale[modifica | modifica wikitesto]

Osserviamo che risulta

poiché si tratta del prodotto di n integrali di Gauss.

D'altra parte, ricordando l'equazione dell'ipersfera in coordinate cartesiane, se l'ipersfera è centrata nell'origine il suo raggio è dato da

e, inoltre, l'integrale esteso a tutto lo spazio può essere scritto come l'integrale ottenuto sommando tutti i contributi che si hanno nelle corone ipersferiche di spessore infinitesimo centrate nell'origine, cioè

Dalle due identità, otteniamo

Notiamo adesso che la misura dell'ipersuperficie di un'ipersfera di raggio r è in relazione con la misura dell'ipersuperficie di un'ipersfera di raggio unitaio nel seguente modo:

Allora dall'identità precedente abbiamo

In questo integrale, operiamo la sostituzione

da cui

Così facendo, otteniamo

Nell'ultimo integrale si riconosce facilmente la definizione della funzione Gamma, quindi si ha

da cui

Relazione tra ipervolume e misura ipersuperficiale[modifica | modifica wikitesto]

È facile comprendere che l'ipervolume n-dimensionale di un'ipersfera, come funzione del raggio , è una primitiva della misura (n-1)-dimensionale dell'ipersuperficie. Infatti l'ipervolume può essere scritto come l'integrale ottenuto sommando tutti i contributi dati dagli ipervolumi delle corone ipersferiche di spessore infinitesimo centrate nell'origine, cioè

Alternativamente, ciò si ottiene anche dalla formula di Minkowski-Steiner, in virtù della quale risulta

Dunque

Tabella di valori al variare del numero di dimensioni[modifica | modifica wikitesto]

Numero di dimensioni n Ipervolume Misura ipersuperficiale
1 ...
2
3
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6
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8
9
10
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12

Considerazioni[modifica | modifica wikitesto]

La prima cosa che si nota è che l'esponente di aumenta di una unità ogni volta che il numero di dimensioni aumenta di due unità, passando al numero pari successivo.

È anche interessante notare come, al tendere del numero di dimensioni ad infinito, ipervolume e misura ipersuperficiale tendano a zero indipendentemente dal raggio:

Nota Bene: Ciò non va interpretato pensando che, al crescere del numero di dimensioni, l'ipersfera tende a non occupare ipervolume, ma va semplicemente interpretato dicendo che il rapporto tra il suo ipervolume e quello dell'ipercubo -dimensionale di lato unitario tende a zero. La spiegazione geometrica è che, fissato il raggio di una ipersfera e fissata la lunghezza del lato di un ipercubo, al crescere del numero di dimensioni, mentre il diametro dell'ipersfera resta costante, la diagonale dell'ipercubo cresce proporzionalmente a .

Quindi, fissato il raggio , le funzioni ed , al crescere del numero di dimensioni prima raggiungomo un valore massimo e poi decrescono indefinitamente. In particolare, nel caso dell'ipersfera di raggio unitario ,

  • l'ipervolume raggiunge il suo valore massimo per dimensioni, mentre
  • la misura ipersuperficiale raggiunge il suo valore massimo per dimensioni, nel qual caso l'ipersuperficie è una varietà -dimensionale.

Un'altra considerazione particolare è la seguente: consideriamo due ipersfere nello spazio -dimensionale, delle quali una di raggio e l'altra di raggio minore , essendo . Il rapporto tra i due ipervolumi

fissato , tende comunque a , al crescere del numero di dimensioni, qualunque sia il valore (anche molto piccolo) scelto per , poiché . Ciò si interpreta dicendo che, al crescere del numero di dimensioni, la maggior parte dell'ipervolume racchiuso nell'ipersfera tende a concentrarsi in prossimità dell'ipersuperficie. La stessa considerazione vale anche per altre figure geometriche -dimensionali.

Notiamo, infine, che la relazione tra ipervolume e misura ipersuperficiale può essere riscritta anche nel modo seguente:

Questa identità può essere interpretata come una generalizzazione al caso -dimensionale della dimostrazione tramite infinitesimi che si applica per il volume della sfera ordinaria, considerando l'ipersfera come l'unione di infinite iperpiramidi -dimensionali infinitesime aventi ciascuna il vertice nel centro dell'ipersfera e la base -dimensionale che poggia sull'ipersuperficie; queste infinite iperpiramidi elementari riempiono tutto e solo l'ipervolume dell'ipersfera e l'ipervolume di ogni iperpiramide è:

Coordinate ipersferiche[modifica | modifica wikitesto]

In uno spazio euclideo -dimensionale, oltre alle coordinate cartesiane, possiamo definire un sistema di coordinate analogo al sistema delle coordinate sferiche definito per lo spazio euclideo -dimensionale, nel quale le coordinate consistono in una coordinata radiale , ed coordinate angolari . Se sono le coordinate cartesiane, allora possiamo definire

Come abbiamo visto in precedenza, queste equazioni forniscono anche la rappresentazione parametrica di un'ipersfera, se fissiamo la coordinata radiale che corrisponderà al raggio dell'ipersfera rappresentata, supponendo che essa sia centrata nell'origine.

Da esse si possono ottenere le seguenti trasformazioni inverse:

Si noti che l'ultimo angolo varia in un intervallo di ampiezza mentre gli altri angoli variano in un intervallo di ampiezza . Questo intervallo copre l'intera ipersfera.

L'elemento di ipervolume nello spazio euclideo -dimensionale si ottiene dallo Jacobiano della trasformazione:

e l'equazione per l'ipervolume dell'ipersfera può essere ottenuta tramite la seguente integrazione:

L'elemento di ipersuperficie -dimensionale dell'ipersfera, che generalizza l'elemento d'area della superficie sferica -dimensionale nello spazio -dimensionale, è dato da:

e si ha

Pubblicazioni[modifica | modifica wikitesto]

  • Franco Eugeni e Franco Mancinelli, sull'ipervolume della ipersfera, in Atti del Convegno "La metodologia storica nell'insegnamento della Matematica e della Fisica", Atti Convegno Mathesis, Ripattoni di Bellante, 1998.
  • Martin Gardner, Circo Matematico - Una nuova serie di enigmi e giochi matematici, Sansoni, 1981, Cap.3: Sfere e ipersfere, pp.31-46.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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