Ipersfera

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Proiezione stereografica dei paralleli (rosso), meridiani (blu) e ipermeridiani (verde) di una ipersfera. Grazie alla proprietà di proiezione conforme della stereografica, i tre tipi di curva si intersecano in modo ortogonale fra di loro (nei punti gialli), come succede in 4 dimensioni. Tutte le curve succitate sono circonferenze: quelle che passano per il centro di proiezione <0,0,0,1> hanno raggio infinito (sono linee rette).

In matematica, e in particolare in geometria, una ipersfera è l'analogo di una sfera in più di tre dimensioni. Una ipersfera di raggio nello spazio euclideo -dimensionale consiste di tutti i punti che hanno distanza da un dato punto fissato , chiamato centro dell'ipersfera

e rappresenta quindi un'ipersuperficie, ossia una varietà -dimensionale immersa nello spazio -dimensionale. Per tale motivo, su alcuni testi, in particolare in topologia, viene indicata con invece che . In questo articolo, sarà indicata con , per rendere più chiare alcune relazioni matematiche. Tuttavia, accenneremo alla notazione utilizzata in topologia nell'ultimo paragrafo.

Nello spazio euclideo, l'ipersfera è la frontiera della palla -dimensionale chiusa, che è l'insieme di tutti i punti che hanno distanza minore o uguale a da un dato punto

e racchiude la palla -dimensionale aperta, che è l'insieme di tutti i punti che hanno distanza minore di da un dato punto

Per esempio:

  • nello spazio euclideo -dimensionale, ossia la retta, è una coppia di punti che delimita che è un segmento;
  • nello spazio euclideo -dimensionale, ossia il piano, è una circonferenza che delimita che è un cerchio;
  • nello spazio euclideo -dimensionale, è una superficie sferica ordinaria che delimita che è l'interno della sfera.

Rappresentazione di un'ipersfera[modifica | modifica wikitesto]

In coordinate cartesiane , l'equazione

di un'ipersfera di centro e raggio si scrive

Un'ipersfera di raggio e centro può essere anche rappresentata in forma parametrica mediante le seguenti equazioni:

dove l'ultima variabile angolare varia in un intervallo di ampiezza mentre le altre variano un intervallo di ampiezza .

Coordinate ipersferiche[modifica | modifica wikitesto]

Strettamente correlata alla rappresentazione parametrica di un'ipersfera, c'è la definizione di coordinate ipersferiche.

In uno spazio euclideo -dimensionale, oltre alle coordinate cartesiane, possiamo definire un sistema di coordinate analogo al sistema delle coordinate sferiche definito per lo spazio euclideo -dimensionale, nel quale le coordinate consistono in una coordinata radiale , ed coordinate angolari . Se sono le coordinate cartesiane, allora possiamo definire

Come abbiamo visto in precedenza, queste equazioni forniscono anche la rappresentazione parametrica di un'ipersfera, se fissiamo la coordinata radiale che corrisponderà al raggio dell'ipersfera rappresentata, supponendo che essa sia centrata nell'origine.

Da esse si possono ottenere le seguenti trasformazioni inverse:

Si noti che l'ultimo angolo varia in un intervallo di ampiezza mentre gli altri angoli variano in un intervallo di ampiezza . Questo intervallo copre l'intera ipersfera.

L'elemento di ipervolume nello spazio euclideo -dimensionale si ottiene dallo Jacobiano della trasformazione:

e l'equazione per l'ipervolume dell'ipersfera può essere ottenuta tramite la seguente integrazione:

L'elemento di ipersuperficie -dimensionale dell'ipersfera, che generalizza l'elemento d'area della superficie sferica -dimensionale nello spazio -dimensionale, è dato da:

e si ha

Ipervolume e ipersuperficie[modifica | modifica wikitesto]

Quando si parla di "volume", o più propriamente di ipervolume, di una ipersfera , in realtà ci si riferisce alla misura -dimensionale della corrispondente palla . Invece, quando si parla di "area superficiale", o più propriamente di misura ipersuperficiale, di una ipersfera , ci si riferisce alla sua misura -dimensionale. Come misura, solitamente, si considera la misura di Lebesgue.

Chiarito ciò, si dimostra che l'ipervolume dell'ipersfera è dato da:

dove denota la funzione Gamma.

Invece la misura ipersuperficiale dell'ipersfera è data da:

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Calcolo della misura ipersuperficiale[modifica | modifica wikitesto]

Osserviamo che risulta

poiché si tratta del prodotto di n integrali di Gauss.

D'altra parte, ricordando l'equazione dell'ipersfera in coordinate cartesiane, se l'ipersfera è centrata nell'origine il suo raggio è dato da

e, inoltre, l'integrale esteso a tutto lo spazio può essere scritto come l'integrale ottenuto sommando tutti i contributi che si hanno nelle corone ipersferiche di spessore infinitesimo centrate nell'origine, cioè

Dalle due identità, otteniamo

Notiamo adesso che la misura dell'ipersuperficie di un'ipersfera di raggio r è in relazione con la misura dell'ipersuperficie di un'ipersfera di raggio unitario nel seguente modo:

Allora dall'identità precedente abbiamo

In questo integrale, operiamo la sostituzione

da cui

Così facendo, otteniamo

Nell'ultimo integrale si riconosce facilmente la definizione della funzione Gamma, quindi si ha

da cui

Relazione tra ipervolume e misura ipersuperficiale[modifica | modifica wikitesto]

È facile comprendere che l'ipervolume -dimensionale di un'ipersfera, come funzione del raggio , è una primitiva della misura -dimensionale dell'ipersuperficie. Infatti l'ipervolume può essere scritto come l'integrale ottenuto sommando tutti i contributi dati dagli ipervolumi delle corone ipersferiche di spessore infinitesimo centrate nell'origine, cioè

Alternativamente, ciò si ottiene anche dalla formula di Minkowski-Steiner, in virtù della quale risulta

Dunque

Tabella di valori al variare del numero di dimensioni[modifica | modifica wikitesto]

Numero di dimensioni n Ipervolume Misura ipersuperficiale Valore numerico Valore numerico
1 ... 2,000.000.000 ...
2 3,141.592.654 6,283.185.307
3 4,188.790.205 12,566.370.614
4 4,934.802.201 19,739.208.802
5 5,263.789.014 26,318.945.070
6 5,167.712.780 31,006.276.680
7 4,724.765.970 33,073.361.792
8 4,058.712.126 32,469.697.011
9 3,298.508.903 29,686.580.125
10 2,550.164.040 25,501.640.399
11 1,884.103.879 20,725.142.673
12 1,335.262.769 16,023.153.226
13 0,910.628.755 11,838.173.812
14 0,599.264.529 8,389.703.410
15 0,381.443.281 5,721.649.212
16 0,235.330.630 3,765.290.086
17 0,140.981.107 2,396.678.818
18 0,082.145.887 1,478.625.959
19 0,046.621.601 0,885.810.420
20 0,025.806.891 0,516.137.828

Considerazioni[modifica | modifica wikitesto]

Per prima cosa, dalle proprietà della funzione Gamma, si evince che

Di conseguenza, in entrambe le espressioni, l'esponente di aumenta di una unità ogni volta che il numero di dimensioni aumenta di due unità, passando al numero pari successivo.

È anche interessante notare come, al tendere del numero di dimensioni ad infinito, ipervolume e misura ipersuperficiale tendano a zero indipendentemente dal raggio:

Nota Bene: Ciò non va interpretato pensando che, al crescere del numero di dimensioni, l'ipersfera tenda a non occupare ipervolume, ma va semplicemente interpretato dicendo che il rapporto tra il suo ipervolume e quello dell'ipercubo -dimensionale di lato unitario tende a zero. La spiegazione geometrica è che, fissato il raggio di una ipersfera e fissata la lunghezza del lato di un ipercubo, al crescere del numero di dimensioni, mentre il diametro dell'ipersfera resta costante, la diagonale dell'ipercubo cresce proporzionalmente a .

Quindi, fissato il raggio , le funzioni ed , al crescere del numero di dimensioni, prima raggiungono un valore massimo e poi decrescono indefinitamente. In particolare, nel caso dell'ipersfera di raggio unitario ,

  • l'ipervolume raggiunge il suo valore massimo per dimensioni, mentre
  • la misura ipersuperficiale raggiunge il suo valore massimo per dimensioni, nel qual caso l'ipersuperficie è una varietà -dimensionale.

Un'altra considerazione particolare è la seguente: consideriamo due ipersfere nello spazio -dimensionale, delle quali una di raggio e l'altra di raggio minore , essendo . Il rapporto tra i due ipervolumi

fissato , tende comunque a , al crescere del numero di dimensioni, qualunque sia il valore (anche molto piccolo) scelto per , poiché . Ciò si interpreta dicendo che, al crescere del numero di dimensioni, la maggior parte dell'ipervolume racchiuso nell'ipersfera tende a concentrarsi in prossimità dell'ipersuperficie. La stessa considerazione vale anche per altre figure geometriche -dimensionali.

Notiamo, infine, che la relazione tra ipervolume e misura ipersuperficiale può essere riscritta anche nel modo seguente:

Questa identità può essere interpretata come una generalizzazione al caso -dimensionale della dimostrazione tramite infinitesimi che si applica per il volume della sfera ordinaria, considerando l'ipersfera come l'unione di infinite iperpiramidi -dimensionali infinitesime aventi ciascuna il vertice nel centro dell'ipersfera e la base -dimensionale che poggia sull'ipersuperficie; queste infinite iperpiramidi elementari riempiono tutto e solo l'ipervolume dell'ipersfera e l'ipervolume di ogni iperpiramide è:

I paradossi delle ipersfere[modifica | modifica wikitesto]

I cosiddetti paradossi delle ipersfere, impropriamente definiti tali, sono, in realtà, solo particolari proprietà geometriche degli spazi euclidei con numero di dimensioni elevato, in particolare, con numero di dimensioni maggiore di ; l'appellativo di "paradossi" è dovuto al carattere apparentemente antiintuitivo di tali proprietà geometriche, se si opera un confronto con ciò che accade nello spazio -dimensionale ordinario. Su alcuni testi sono indicati come paradossi di Moser[1], essendo stati probabilmente scoperti dal matematico austriaco naturalizzato canadese Leo Moser[2].

Primo paradosso[modifica | modifica wikitesto]

Nel piano, cioè nello spazio euclideo a dimensioni, cerchi di raggio possono essere inseriti all'interno di un quadrato di lato , in maniera tale da essere tangenti tra loro e tangenti ai lati del quadrato; tali cerchi si ottengono dividendo il quadrato di partenza in quadrati più piccoli di lato e considerando i cerchi iscritti in questi quadrati più piccoli; così facendo, in prossimità del centro del quadrato di partenza, c'è ancora spazio per inserire un cerchio più piccolo di raggio .

Nello spazio ordinario, cioè nello spazio euclideo a dimensioni, sfere possono essere inserite all'interno di un cubo di lato , in maniera tale da essere tangenti tra loro e tangenti alle facce del cubo; tali sfere si ottengono dividendo il cubo di partenza in cubi più piccoli di lato e considerando le sfere iscritte in questi cubi più piccoli; così facendo, in prossimità del centro del cubo di partenza, c'è ancora spazio per inserire una sfera più piccola di raggio .

Analogamente, nello spazio euclideo a dimensioni, ipersfere -dimensionali possono essere inserite all'interno di un ipercubo -dimensionale di lato , in maniera tale da essere tangenti tra loro e tangenti alle iperfacce -dimensionali dell'ipercubo; tali ipersfere -dimensionali si ottengono dividendo l'ipercubo -dimensionale di partenza in ipercubi -dimensionali più piccoli di lato e considerando le ipersfere iscritte in questi ipercubi più piccoli; così facendo, in prossimità del centro dell'ipercubo di partenza, c'è ancora spazio per inserire un'ipersfera di raggio , la quale, quindi, ha lo stesso raggio e non è più piccola delle altre.

In generale, nello spazio euclideo a dimensioni, ipersfere -dimensionali possono essere inserite all'interno di un ipercubo -dimensionale di lato , in maniera tale da essere tangenti tra loro e tangenti alle iperfacce -dimensionali dell'ipercubo; tali ipersfere -dimensionali si ottengono dividendo l'ipercubo -dimensionale di partenza in ipercubi -dimensionali più piccoli di lato e considerando le ipersfere iscritte in questi ipercubi più piccoli; così facendo, in prossimità del centro dell'ipercubo di partenza, c'è ancora spazio per inserire un'ipersfera di raggio .

È evidente che, a partire da dimensioni, l'ipersfera centrale diventa più grande, cioè ha raggio maggiore, rispetto alle altre ipersfere.

A dimensioni, poi, l'ipersfera centrale ha raggio , quindi ha diametro uguale al lato dell'ipercubo che contiene tutte le ipersfere considerate, pertanto diviene tangente alle iperfacce -dimensionali di tale ipercubo; ciò nonostante, all'interno dell'ipercubo, in corrispondenza dei vertici, c'è ancora spazio per le altre ipersfere.

È evidente che, a partire da dimensioni, l'ipersfera centrale non può più entrare nell'ipercubo considerato, poiché ha diametro maggiore di e, pertanto, sporge all'esterno.

Secondo paradosso[modifica | modifica wikitesto]

Nel piano, cioè nello spazio euclideo a dimensioni, consideriamo una scacchiera, costituita da quadrati di lato . Un cerchio circoscritto a ciascun quadrato della scacchiera ha diametro uguale alla lunghezza della diagonale del quadrato, ossia , pertanto occupa parte dei quadrati adiacenti.

Nello spazio ordinario, cioè nello spazio euclideo a dimensioni, consideriamo una scacchiera -dimensionale, costituita da cubi di lato . Una sfera circoscritta a ciascun cubo della scacchiera ha diametro uguale alla lunghezza della diagonale del cubo, ossia , pertanto occupa parte dei cubi adiacenti.

In generale, nello spazio euclideo a dimensioni, consideriamo una scacchiera -dimensionale, costituita da ipercubi -dimensionali di lato . Un'ipersfera -dimensionale circoscritta a ciascun ipercubo della scacchiera ha diametro uguale alla lunghezza della diagonale dell'ipercubo, ossia , pertanto occupa parte degli ipercubi adiacenti.

A dimensioni, l'ipersfera circoscritta a ciascun ipercubo ha diametro uguale a , pertanto essa passa per i vertici dell'ipercubo a cui è circoscritta ma, contemporaneamente, è anche tangente alle iperfacce degli ipercubi adiacenti le quali si trovano dalla parte opposta rispetto alle iperfacce in comune con l'ipercubo a cui è circoscritta l'ipersfera.

È evidente che, a partire da dimensioni, l'ipersfera passa per i vertici dell'ipercubo a cui è circoscritta ma, contemporaneamente, sporge all'esterno degli ipercubi adiacenti.

Un altro fenomeno particolare accade già a partire da dimensioni: in tal caso, ogni ipersfera circoscritta ha raggio uguale o maggiore di , pertanto include anche i centri degli ipercubi aiacenti. Si comprende allora che, dato un qualunque ipercubo della scacchiera -dimensionale, esso risulta completamente occupato da tutte le ipersfere circoscritte agli ipercubi adiacenti; invece, in una scacchiera -dimensionale o -dimensionale, un qualunque quadrato o cubo non viene completamente occupato da tutti i cerchi circoscritti o da tutte le sfere circoscritte ai quadrati o ai cubi adiacenti.

Notazione utilizzata in topologia[modifica | modifica wikitesto]

Come accennato in precedenza, in topologia, l'ipersfera rappresentata dal luogo di tutti i punti, nello spazio euclideo -dimensionale, che hanno distanza da un dato punto fissato , essendo una varietà -dimensionale, è indicata con invece che , cioè si pone

In alternativa, si può porre

ossia si può considerare l'ipersfera rappresentata dal luogo di tutti i punti, nello spazio euclideo -dimensionale, che hanno distanza da un dato punto fissato , la quale è una varietà -dimensionale.

In topologia, la varietà -dimensionale così definita prende anche il nome di -sfera.

Con tale convenzione, si ha, per esempio, che:

  • l'-sfera è una circonferenza
  • la -sfera è una superficie sferica ordinaria
  • la -sfera è un'ipersuperficie -dimensionale che rappresenta la frontiera di una palla -dimensionale.

Con la notazione utilizzata in topologia, la formula che esprime la misura ipersficiale si ottiene da quella vista in precedenza sostituendo con , cioè

Applicando questa formula, si ottiene, per esempio, che:

  • la misura -dimensionale di una -sfera, ossia la lunghezza di una circonferenza, è ;
  • la misura -dimensionale di una -sfera, ossia l'area di una superficie sferica ordinaria, è ;
  • la misura -dimensionale di una -sfera, ossia il volume di un'ipersuperficie ipersferica -dimensionale, è .

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Consultare per esempio: Martin Gardner, Circo Matematico - Una nuova serie di enigmi e giochi matematici, Sansoni, 1981, Cap.3: Sfere e ipersfere, p. 42 e p.44, dove si parla di paradossi scoperti da Leo Moser e mai pubblicati;
  2. ^ The n-ball game - bit player

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Franco Eugeni e Franco Mancinelli, sull'ipervolume della ipersfera, in Atti del Convegno "La metodologia storica nell'insegnamento della Matematica e della Fisica", Atti Convegno Mathesis, Ripattoni di Bellante, 1998.
  • Martin Gardner, Circo Matematico - Una nuova serie di enigmi e giochi matematici, Sansoni, 1981, Cap.3: Sfere e ipersfere, pp. 31–46.

Sui paradossi delle ipersfere[modifica | modifica wikitesto]

  • R. W. Hamming, "Coding and Information theory", Prentice-Hall Inc., 1980, Cap. 9, pp. 164-169.
  • Martin Gardner, Circo Matematico - Una nuova serie di enigmi e giochi matematici, Sansoni, 1981, Cap.3: Sfere e ipersfere, pp. 42-45.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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