Formula di coarea

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In matematica, più precisamente nell'ambito della teoria della misura, la formula di coarea permette di calcolare l'integrale del gradiente di una funzione in termini dell'integrale dei suoi insiemi di livello. Tale formula viene spesso utilizzata per problemi isoperimetrici.

Formula di coarea (prima versione)[modifica | modifica sorgente]

È possibile enunciare due versioni per la formula di coarea. Se indichiamo con \mathcal{H}^{n-1} la misura di Hausdorff n-1 dimensionale allora vale

Sia f:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R} una funzione lipschitziana e sia E un insieme misurabile. Allora vale la formula  \int_{E} | \nabla f(x)| dx = \int _{\mathbb{R}} \mathcal{H}^{n-1} (E \cap f^{-1}(t)) dt.

Formula di coarea (seconda versione)[modifica | modifica sorgente]

È possibile dare un'altra versione della formula di coarea, nella quale al primo membro compare anche un'altra funzione g non negativa e misurabile. La formula diventa allora

Sia f:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R} Lipschitziana e sia E un insieme misurabile. Sia inoltre g:\mathbb{R}^n\rightarrow [0,+\infty] una funzione misurabile. Allora vale la formula \int_{E} g(x)| \nabla f(x)| dx = \int _{\mathbb{R}} \left( \int_{E\cap f^{-1}(t)} g(y) d\mathcal{H}^{n-1}\right)dt

Applicazioni[modifica | modifica sorgente]

Spesso la formula di coarea viene utilizzata nella sua seconda versione per il calcolo di un integrale di una funzione a simmetria radiale. Infatti per calcolare l'ntegrale di g, se scegliamo f=|x| otteniamo :


\int_{E} g(x) dx = \int _{\mathbb{R}} \left( \int_{E\cap B_r} g(y) d\mathcal{H}^{n-1}\right)dr

dove B_r è la palla centrata nell'origine di raggio r.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Ambrosio, Fusco, Pallara, Function of Bounded Variation and Free Discontinuity Problems, Oxford University Press, 2000.


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