3-sfera

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Proiezione stereografica degli elementi della 3-sfera: paralleli (in rosso), meridiani (in blu) e ipermeridiani (in verde). Tutte le curve sono cerchi (alcuni di raggio infinito, quindi rette), e in proiezione appaiono intersecarsi sempre ad angolo retto.

La 3-sfera è una figura geometrica nello spazio euclideo 4-dimensionale, in particolare è l'analogo in questo spazio della sfera. È definita come il luogo dei punti equidistanti da un punto fissato.

La 3-sfera è chiamata spesso ipersfera, anche se con lo stesso termine si indicano tutte le n-sfere con n≥3.

Così come la sfera ordinaria, chiamata anche 2-sfera, è una superficie (varietà) bidimensionale che fa da bordo alla palla tridimensionale, la 3-sfera è una varietà tridimensionale che fa da bordo alla palla 4-dimensionale.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

In termini di coordinate, una 3-sfera centrata in C (C0C1C2C3) ed avente raggio r è l'insieme dei punti x (x0x1x2x3) nello spazio R4 tali che

Si chiama 3-sfera unitaria o S3 quella con centro nell'origine e raggio unitario:

Se si considera R4 come lo spazio a due coordinate complesse (C2), o quaternione (H), la 3-sfera unitaria è data dalla relazione

oppure da

L'ultima definizione mostra che la 3-sfera è l'insieme di tutti i quaternioni unitari, ossia con modulo pari all'unità.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Proprietà elementari[modifica | modifica wikitesto]

Il volume 3-dimensionale (o iperarea) della 3-sfera di raggio r è pari a

mentre l'ipervolume (il volume della regione 4-dimensionale racchiusa dalla 3-sfera) vale

Ogni intersezione non vuota di una 3-sfera con un iperpiano tridimensionale è una 2-sfera, ossia una sfera convenzionale, oppure un singolo punto (nel caso di tangenza).

Proprietà topologiche[modifica | modifica wikitesto]

Una 3-sfera è una varietà 3-dimensionale compatta, connessa e senza bordo. Inoltre è un insieme semplicemente connesso: ogni curva chiusa sulla sua superficie può essere ristretta ad un singolo punto senza lasciare la 3-sfera. Secondo la congettura di Poincaré, dimostrata nel 2003 da Grigorij Perel'man, la 3-sfera (a meno di omeomorfismo) è l'unica figura con queste proprietà.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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