Insieme chiuso

I punti $(x,y)$ del piano cartesiano che soddisfano la relazione $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ formano una circonferenza qui disegnata in blu avente il centro nell'origine degli assi cartesiani e raggio $r$. I punti tali che $x^{2}+y^{2}<r^{2}$ sono disegnati in rosso. L'unione dei punti disegnati in rosso e di quelli in blu è un insieme chiuso, mentre la sola parte disegnata in rosso forma un insieme aperto.

In topologia, un insieme chiuso è un sottoinsieme di uno spazio topologico tale che il suo complementare è aperto, oppure, equivalentemente, un insieme è chiuso se contiene la sua frontiera. Intuitivamente se un insieme è chiuso vuol dire che il "bordo" dell'insieme appartiene all'insieme stesso.

Gli insiemi chiusi hanno quindi le seguenti proprietà, "complementari" a quelle degli insiemi aperti, valide in un qualsiasi spazio topologico $(X,{\mathcal {T}})$:

1. l'unione di un numero finito di chiusi è ancora un chiuso;
2. l'intersezione di una collezione arbitraria di chiusi è ancora un chiuso;
3. l'intero insieme $X$ e l'insieme vuoto sono chiusi.

Si possono usare queste proprietà come assiomi per definire una topologia su $X$ a partire dai chiusi, che coincide con quella generata nel modo usuale dalla famiglia ${\mathcal {T}}$ degli aperti complementari.

Esempi

Sono insiemi chiusi della retta reale con l'usuale topologia indotta dalla metrica euclidea i seguenti sottoinsiemi:

• i sottoinsiemi contenenti un solo elemento;
• gli intervalli $[a,b]$, con $a$ e $b$ numeri reali finiti;
• gli intervalli $[a,+\infty )$ e $(-\infty ,b]$, con $a$ e $b$ numeri reali finiti;
• i sottoinsiemi dei numeri naturali e dei numeri interi;
• l'insieme di Cantor.

Non sono insiemi chiusi della retta reale con l'usuale topologia indotta dalla metrica euclidea i seguenti sottoinsiemi:

• gli intervalli $[a,b)$ e $(a,b]$, con $a$ e $b$ numeri reali finiti;
• il sottoinsieme dei numeri razionali.

Altri esempi di insiemi chiusi sono:

• un qualsiasi sottospazio vettoriale dello spazio euclideo;
• un cerchio (circonferenza inclusa) nel piano, una sfera (con la sua superficie) nello spazio e più in generale un'ipersfera (con il suo bordo) in uno spazio euclideo a $n$ dimensioni. Più in generale l'insieme $S=\{x\in X:d(x,O)\leq R\}$

dove $O$ è un punto dello spazio ed $R$ un numero reale positivo, è un insieme chiuso dello spazio metrico $(X,d)$ con topologia indotta dalla metrica $d$.

Proprietà

• Un sottoinsieme chiuso di un insieme compatto è anch'esso compatto.
• Un sottoinsieme compatto in uno spazio di Hausdorff è chiuso.
• La frontiera di un qualunque insieme è chiusa.
• In uno spazio metrico (ad esempio quello euclideo), i punti sono chiusi.
• Uno spazio topologico è uno spazio T1 se e solo se tutti i suoi punti sono chiusi.
• La controimmagine di un chiuso attraverso una funzione continua tra due spazi topologici è chiusa.

Bibliografia

• Edoardo Sernesi, Geometria 2, Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 978-88-339-5548-3.
• Czes Kosniowski, Introduzione alla Topologia Algebrica, Zanichelli, 1988, ISBN 88-08-06440-9.
• (EN) Stephen Willard, General Topology, Reading, MA, Addison-Wesley, 1970, ISBN 0-486-43479-6.

Voci correlate

• Spazio topologico
• Chiusura (topologia)
• Insieme localmente chiuso
• Insieme denso
• Insieme aperto
• Frontiera (topologia)
• Parte interna
• Spazio compatto

Collegamenti esterni

• (EN) closed set, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Insieme chiuso, su MathWorld, Wolfram Research.