Insieme chiuso

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I punti del piano cartesiano che soddisfano la relazione formano una circonferenza qui disegnata in blu avente il centro nell'origine degli assi cartesiani e raggio . I punti tali che sono disegnati in rosso. L'unione dei punti disegnati in rosso e di quelli in blu è un insieme chiuso, mentre la sola parte disegnata in rosso forma un insieme aperto.

In matematica, in particolare in topologia, un sottoinsieme di uno spazio topologico è chiuso se il suo complementare è aperto. Intuitivamente se un insieme è chiuso vuol dire che il "bordo" dell'insieme appartiene all'insieme stesso, infatti una definizione equivalente alla precedente è la seguente: è chiuso se contiene la sua frontiera.

Gli insiemi chiusi hanno quindi le seguenti proprietà, "complementari" a quelle degli insiemi aperti, valide in un qualsiasi spazio topologico:

  1. l'unione di un numero finito di chiusi è ancora un chiuso;
  2. l'intersezione di una collezione arbitraria di chiusi è ancora un chiuso;
  3. l'intero insieme e l'insieme vuoto sono chiusi.

Si possono usare queste proprietà come assiomi per definire una topologia su a partire dai chiusi, che coincide con quella generata nel modo usuale dalla famiglia degli aperti complementari.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Sono insiemi chiusi della retta reale con l'usuale topologia indotta dalla metrica euclidea i seguenti sottoinsiemi:

  • i sottoinsiemi contenenti un solo elemento;
  • gli intervalli , con e numeri reali finiti;
  • gli intervalli e , con e numeri reali finiti;
  • i sottoinsiemi dei numeri naturali e dei numeri interi;
  • l'insieme di Cantor.

Non sono insiemi chiusi della retta reale con l'usuale topologia indotta dalla metrica euclidea i seguenti sottoinsiemi:

  • gli intervalli e , con e numeri reali finiti;
  • il sottoinsieme dei numeri razionali.

Altri esempi di insiemi chiusi sono:

  • un qualsiasi sottospazio vettoriale dello spazio euclideo;
  • un cerchio (circonferenza inclusa) nel piano, una sfera (con la sua superficie) nello spazio e più in generale un'ipersfera (con il suo bordo) in uno spazio euclideo a dimensioni. Più in generale l'insieme

    dove è un punto dello spazio ed un numero reale, è un insieme chiuso dello spazio metrico con topologia indotta dalla metrica .

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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