Insieme chiuso

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
I punti (x,y) del piano cartesiano che soddisfano la relazione x^2+y^2=r^2 formano una circonferenza qui disegnata in blu avente il centro nell'origine degli assi cartesiani e raggio r. I punti tali che x^2+y^2<r^2 sono disegnati in rosso. L'unione dei punti disegnati in rosso e di quelli in blu è un insieme chiuso, mentre la sola parte disegnata in rosso forma un insieme aperto.

In matematica, in particolare in topologia, un sottoinsieme S di uno spazio topologico (X,\Tau) è chiuso se il suo complementare è aperto. Intuitivamente se un insieme è chiuso vuol dire che il "bordo" dell'insieme appartiene all'insieme stesso, infatti una definizione equivalente alla precedente è la seguente: S è chiuso se contiene la sua frontiera.

Gli insiemi chiusi hanno quindi le seguenti proprietà, "complementari" a quelle degli insiemi aperti, valide in un qualsiasi spazio topologico:

  1. l'unione di un numero finito di chiusi è ancora un chiuso;
  2. l'intersezione di una collezione arbitraria di chiusi è ancora un chiuso;
  3. l'intero insieme X e l'insieme vuoto sono chiusi.

Si possono usare queste proprietà come assiomi per definire una topologia su X a partire dai chiusi, che coincide con quella generata nel modo usuale dalla famiglia \Tau degli aperti complementari.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Sono insiemi chiusi della retta reale con l'usuale topologia indotta dalla metrica euclidea i seguenti sottoinsiemi:

Non sono insiemi chiusi della retta reale con l'usuale topologia indotta dalla metrica euclidea i seguenti sottoinsiemi:

  • gli intervalli [a,b) e (a,b], con a e b numeri reali finiti;
  • il sottoinsieme dei numeri razionali.

Altri esempi di insiemi chiusi sono:

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]


matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica