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Teorema del sollevamento dell'omotopia

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Il teorema di sollevamento dell'omotopia è un teorema di matematica, e più precisamente di topologia, che collega le nozioni di rivestimento e di omotopia.

Definizione di sollevamento[modifica | modifica wikitesto]

Sia un rivestimento e un'applicazione continua fra spazi topologici. Un sollevamento di è una applicazione continua tale che:

Enunciato del teorema[modifica | modifica wikitesto]

Siano dati un rivestimento fra spazi topologici

e due applicazioni continue

definite sull'intervallo e sul quadrato , tali che per ogni .

Allora esiste, ed è unico, un sollevamento

di tale che per ogni .

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Basta dimostrare l'esistenza: l'unicità segue dalla connessione di e dal Teorema di unicità del sollevamento.

La costruzione del sollevamento è invece fatta sfruttando la semplice connessione e la compattezza di . Grazie alla compattezza esiste un tale che ogni quadratino

contenuto in (quindi con ) ha immagine contenuta in un aperto uniformemente rivestito. Quindi la funzione , ristretta al quadratino , ammette un sollevamento. I quadratini ricoprono il quadrato : grazie alla semplice connessione, tutti questi sollevamenti possono quindi essere "incollati" coerentemente in modo da formare un sollevamento con le proprietà richieste.

Corollario[modifica | modifica wikitesto]

Siano un rivestimento e un'applicazione continua. Per ogni coppia di punti y ∈ S2, e ∈ p−1(f(y)) esiste un unico sollevamento g : S2 → E dell'applicazione f tale che g(y) = e.

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