Topologia polare

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In matematica, in particolare in analisi funzionale, una topologia polare consente di definire una topologia localmente convessa su una coppia di spazi vettoriali duali (in generale relazionati mediante una forma bilineare).

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia una coppia duale, cioè una tripla formata da due spazi vettoriali e sullo stesso campo (dei numeri reali o complessi), e da una forma bilineare tale che:

Un insieme è un insieme limitato in rispetto a se per ogni elemento l'insieme dei valori è limitato in :

Tale condizione è equivalente alla richiesta che l'insieme polare dell'insieme in :

sia un insieme assorbente in , ovvero:

Sia ora una famiglia di insiemi limitati di (limitati rispetto a ) che soddisfi le seguenti proprietà:

  • Ogni punto di appartiene a qualche insieme : .
  • Ogni coppia di insiemi e è contenuta in qualche insieme : .
  • è chiusa rispetto alla moltiplicazione per scalare:

Allora la seminorma:

definisce una topologia di Hausdorff localmente convessa su , la topologia polare su generata dalla famiglia di insiemi . Gli insiemi:

formano una base locale di questa topologia. Una rete di elementi tende a un elemento rispetto a questa topologia se e solo se:

A causa di ciò, la topologia polare è spesso detta topologia della convergenza uniforme degli insiemi di . La seminorma è il gauge dell'insieme polare .

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) A.P. Robertson e W. Robertson, Topological vector spaces, Cambridge University Press, 1964.
  • (EN) Helmuth H. Schaefer, Topological vector spaces, New York, The MacMillan Company, 1966, ISBN 0-387-98726-6.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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