Successione di funzioni

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In matematica una successione di funzioni è una successione i cui termini sono funzioni.

La definizione di un opportuno limite per una successione di funzioni è un tema importante dell'analisi funzionale. In particolare, per le successioni di funzioni si introduce, accanto alla convergenza puntuale, l'importante concetto di convergenza uniforme. La convergenza uniforme ad una funzione su un dato intervallo può essere definita tramite la norma uniforme.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Dato un insieme di funzioni tra due insiemi fissati e , una successione di funzioni è una applicazione dall'insieme dei numeri naturali in , che associa ad ogni numero naturale una funzione . La successione è usualmente indicata con uno dei due simboli seguenti:

Il secondo simbolismo è più corretto in quanto evidenzia il fatto che la nozione di successione generalizza quella di ennupla ordinata.

È importante osservare che nella definizione, così come nell'enunciazione di molti teoremi e proprietà, non è necessario supporre che il dominio delle funzioni sia un insieme strutturato. Solo dove richiesto esso sarà da intendersi, a seconda dei casi, uno spazio topologico, metrico, etc.

Valori in un punto fissato[modifica | modifica wikitesto]

Fissato un elemento nel dominio , la successione:

dei valori assunti dalle funzioni in è una successione di elementi del codominio . Quando è un insieme numerico, come ad esempio l'insieme dei numeri reali, questa è una successione numerica.

Limite della successione[modifica | modifica wikitesto]

Data una successione di funzioni, è naturale definire una nozione di limite. Se è una successione di funzioni da in , la successione numerica dei valori assunti in un punto può avere o non avere un limite. Se esiste un limite per ogni punto , è possibile definire una funzione limite . Tale tipo di convergenza, ottenuta "calcolando il limite punto per punto", è detto convergenza puntuale. La convergenza puntuale è scarsamente usata in molti contesti dell'analisi funzionale poiché non soddisfa dei requisiti che sono normalmente ritenuti importanti. Tra questi c'è, ad esempio, la commutatività del limite con altre operazioni che si possano fare sulle funzioni.

Nel caso di funzioni da in , la convergenza puntuale ha le seguenti proprietà:

  • Il limite di una successione di funzioni continue non è necessariamente una funzione continua.
  • Il limite di una successione di funzioni derivabili o integrabili non è necessariamente derivabile/integrabile.
  • Il limite degli integrali di una successione di funzioni non è necessariamente uguale all'integrale del limite, ovvero non si possono sempre scambiare fra loro il segno di limite con quello di integrale.
  • Il limite delle derivate di una successione di funzioni non è necessariamente uguale alla derivata del limite, ovvero non si possono sempre scambiare fra loro il segno di derivata con quello di limite.

Per ottenere nozioni di convergenza che soddisfino le precedenti proprietà si definisce un opportuno spazio di funzioni da in , ad esempio lo spazio delle funzioni continue, lo spazio delle funzioni misurabili o lo spazio delle funzioni lisce. Fornendo di una nozione di distanza, così che risulti essere uno spazio metrico, si può introdurre una nozione di convergenza di una successione di elementi di più forte di quella puntuale, detta "convergenza uniforme".

Convergenza puntuale[modifica | modifica wikitesto]

Sia una successione di funzioni da in e sia un'altra funzione da in . Lo spazio può essere ad esempio l'insieme dei numeri reali o complessi. La successione di funzioni converge puntualmente a se:

per ogni nel dominio . In simboli, si scrive:

Se il codominio è l'insieme dei numeri reali, è possibile anche usare una simbologia che indica una convergenza monotona. Se:

per ogni e , allora vale anche:

per ogni e , e si scrive oppure . Analogamente, se vale l'altro verso della disuguaglianza si scrive oppure .

Convergenza uniforme[modifica | modifica wikitesto]

Si può visualizzare la convergenza uniforme attraverso il fatto che le funzioni della successione non si allontanano dalla funzione limite per una distanza maggiore di .

Sia una successione di funzioni dall'insieme in e sia una funzione. La successione converge uniformemente alla funzione se per ogni esiste tale che:

per tutti gli .

Detto:

la successione converge uniformemente a se e solo se:

La successione converge localmente uniformemente a se per ogni in uno spazio metrico esiste tale che converge uniformemente su .

Da notare che se nella definizione di convergenza uniforme si scambiano "esiste " e "per ogni " si ottiene la definizione di convergenza puntuale: per ogni e per ogni esiste un tale che per tutti gli . Si vede che la convergenza uniforme implica quella puntuale.

La convergenza uniforme si differenzia da quella puntuale per il fatto che, fissato un valore (volendo anche piccolo a piacere), si può trovare in corrispondenza di esso un indice che non dipende da , ovvero non dipende dal punto considerato. In modo informale si può affermare che, una volta fissato , ogni funzione con approssima su tutto la funzione con un errore minore di .

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

La convergenza uniforme è in molti contesti preferibile alla convergenza puntuale in quanto soddisfa un certo numero di proprietà. Sia convergente uniformemente a :

  • Se è limitata allora è limitata.
  • Se è continua allora è continua.
  • Se è uniformemente continua allora è uniformemente continua.
  • Se è continua e uniformemente convergente su , allora:
Questa relazione consente il passaggio al limite sotto il segno di integrale. L'ipotesi di continuità può essere inoltre sostituita con l'ipotesi che sia integrabile secondo Lebesgue.
  • Il lemma di Dini stabilisce che se o in (puntualmente) con e continue e compatto, allora convergente uniformemente a .
  • Se si verifica [senza fonte]:
    • Le funzioni sono derivabili in
    • converge a per qualche
    • converge a uniformemente
Allora uniformemente, è derivabile e .

Metrica uniforme[modifica | modifica wikitesto]

Se è compatto, lo spazio delle funzioni continue su può essere dotato di una distanza:

in modo da diventare uno spazio metrico. In esso è definito un concetto di limite di una successione che coincide con quello di convergenza uniforme. Le ipotesi che sia compatto e che le funzioni siano continue sono introdotte per ottenere effettivamente una distanza finita fra ogni coppia di funzioni, grazie al teorema di Weierstrass. Tale distanza è a sua volta indotta dalla norma uniforme.

Criterio di convergenza di Cauchy[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Criterio di convergenza di Cauchy.

Sia una successione di funzioni definita in . Essa è convergente puntualmente e uniformemente se e solo se per ogni esiste un indice tale che, per ogni in :

Nello spazio delle funzioni limitate in vale infatti il criterio di convergenza di Cauchy, essendo esso uno spazio completo.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Gli esempi seguenti sono successioni di funzioni da in .

In alcuni casi una successione di funzioni può essere interamente descritta da una espressione del tipo:

dove i primi termini sono:

Analogamente, una espressione del tipo:

descrive la successione di funzioni:

dove se si ottiene una successione di numeri reali.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Elementi di Analisi Matematica Due. Versione semplificata per i nuovi corsi di laurea, Liguori Editore, Napoli, 2001 ISBN 88-207-3137-1
  • (EN) Hans Niels Jahnke, 6.7 The Foundation of Analysis in the 19th Century: Weierstrass, in A history of analysis, AMS Bookstore, 2003, ISBN 978-0-8218-2623-2.
  • (EN) Konrad Knopp, Theory and Application of Infinite Series; Blackie and Son, London, 1954, reprinted by Dover Publications, ISBN 0-486-66165-2.
  • (EN) G. H. Hardy, Sir George Stokes and the concept of uniform convergence; Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 19, pp. 148–156 (1918)
  • (EN) Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology. Chapters 5–10 (Paperback); ISBN 0-387-19374-X
  • (EN) Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., McGraw–Hill, 1976.
  • (EN) Gerald Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, Second Edition, John Wiley & Sons, Inc., 1999, ISBN 0-471-31716-0.

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