Funzione integrabile

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Nel calcolo infinitesimale, una funzione integrabile o funzione sommabile rispetto ad un dato operatore integrale è una funzione il cui integrale esiste ed il suo valore è finito.

I due integrali più usati sono l'integrale di Riemann e l'integrale di Lebesgue, e la definizione dipende da quale operatore integrale si utilizza. Data la maggior diffusione e generalità dell'integrale di Lebesgue rispetto agli altri, tuttavia, per funzione integrabile si intende solitamente integrabile secondo Lebesgue.

Nella maggior parte dei casi i termini "integrabile" e "sommabile" sono sinomini, ma può capitare che uno dei due sia usato per il caso più generale di funzioni il cui integrale esiste e può essere infinito.

Integrale di Lebesgue[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svgLo stesso argomento in dettaglio: Integrale di Lebesgue.

Dato uno spazio di misura , una funzione semplice è una combinazione lineare finita di funzioni indicatrici di insiemi misurabili.[1]

si definisce l'integrale di Lebesgue come:

Una funzione non negativa si dice integrabile secondo Lebesgue se esiste finito l'estremo superiore:[2]

dove è una arbitraria funzione semplice tale che . L'insieme delle funzioni che soddisfano tale definizione è detto insieme delle funzioni integrabili su X secondo Lebesgue rispetto alla misura , o anche insieme delle funzioni sommabili, ed è denotato con .

In generale, una qualsiasi funzione si dice integrabile se lo sono le funzioni non negative:

che sono rispettivamente la parte positiva e parte negativa di .

Si definisce in tal caso:[3]

Integrale di Riemann[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svgLo stesso argomento in dettaglio: Integrale di Riemann.

Una funzione limitata si dice integrabile secondo Riemann se esiste finito il limite:

dove è una arbitraria partizione dell'intervallo con calibro minore di (il calibro di una partizione è la massima ampiezza tra i sottointervalli della partizione data), e:

Il limite deve essere inteso nel seguente modo. Per ogni esiste un tale che per ogni partizione di con calibro minore di e per ogni scelta dei relativi punti vale:

Altri operatori di integrazione[modifica | modifica wikitesto]

Tra gli altri tipi di operatori integrali vi sono:

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ W. Rudin, Pag. 15
  2. ^ W. Rudin, Pag. 19
  3. ^ W. Rudin, Pag. 24

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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