Funzione localmente integrabile

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In matematica, una funzione localmente integrabile è una funzione che è integrabile su ogni sottoinsieme compatto del dominio.

Detto un insieme aperto nello spazio euclideo e una funzione misurabile rispetto alla sigma-algebra di Lebesgue, se l'integrale di Lebesgue:

esiste finito per ogni sottoinsieme compatto in , allora è detta localmente integrabile.

Le funzioni localmente integrabili giocano un ruolo importante nella teoria delle distribuzioni, e compaiono nel teorema di Radon-Nikodym.

Definizione alternativa[modifica | modifica wikitesto]

Sia un insieme aperto di e l'insieme delle funzioni infinitamente differenziabili a supporto compatto definite su . Una funzione tale che:

è detta localmente integrabile. L'insieme di tutte queste funzioni è denotato con .

Questa definizione trova le sue radici nell'approccio alla teoria della misura e dell'integrazione basato sul concetto di operatore lineare continuo in uno spazio vettoriale topologico, sviluppato dal gruppo Nicolas Bourbaki e altri, ed utilizzato spesso nell'ambito dell'analisi funzionale. In particolare la definizione di funzionali lineari tramite integrali di nucleo è una pratica utilizzata nella teoria delle distribuzioni, dove in tal caso le funzioni sono dette funzioni di test.

Si tratta di una definizione equivalente a quella standard, data in apertura, ovvero:

se e solo se:

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Infatti, sia . Essendo una funzione misurabile limitata dalla sua norma uniforme ed avendo un supporto compatto per la definizione standard, si ha:

Per mostrare l'implicazione inversa, sia un sottoinsieme compatto di . Si vuole innanzitutto costruire una funzione di test che maggiora la funzione indicatrice di . La distanza (insiemistica) tra e la sua frontiera è strettamente maggiore di zero, ovvero:

ed è quindi possibile scegliere un numero reale tale per cui (se è vuoto si prende ). Siano ora e gli intorni chiusi di aventi rispettivamente raggio e . Essi sono compatti e soddisfano:

Grazie alla convoluzione si definisce la funzione come:

dove è un mollificatore. Dal momento che per tutti gli si ha che .

Se è una funzione localmente integrabile rispetto alla seconda definizione si ha:

e poiché questo vale per ogni sottoinsieme compatto di , è localmente integrabile anche rispetto alla prima definizione.

Generalizzazione[modifica | modifica wikitesto]

Sia un aperto di e una funzione misurabile rispetto alla sigma-algebra di Lebesgue. Se per un dato tale che la funzione soddisfa:

ovvero appartiene allo spazio spazio Lp per tutti i sottoinsiemi compatti di , allora è localmente -integrabile. L'insieme di tutte le funzioni di questo tipo si indica con .

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Completezza dello spazio metrico Lploc[modifica | modifica wikitesto]

Lo spazio è uno spazio metrico completo per . La sua topologia può essere generata dalla famiglia di metriche:

dove è una famiglia di insiemi non vuoti tale che:

  • , ovvero è strettamente incluso in .
  • .
  • Le funzioni , con , sono una famiglia indicizzata di seminorme definita come:

Lp come sottospazio di Lploc per p ≥ 1[modifica | modifica wikitesto]

Ogni funzione , dove e è un aperto di , è localmente integrabile.

Per mostrare questo fatto, data la semplicità del caso si assume nel seguito . Considerando la funzione indicatrice del sottoinsieme compatto , si ha:

dove è un numero positivo tale che per un dato , e è la misura di Lebesgue di . Allora, per la disuguaglianza di Hölder il prodotto è una funzione integrabile, ovvero appartiene a e:

Quindi . Si nota che dal momento che vale:

il teorema si applica anche quando appartiene solo allo spazio delle funzioni localmente -integrabili, e pertanto si ha come corollario che ogni funzione , dove , è localmente integrabile, ovvero appartiene a .

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

  • Ogni funzione integrabile (globalmente) in è localmente integrabile, cioè:
  • Più generalmente, ogni funzione in , con è localmente integrabile:
  • La funzione costante a definita sulla retta reale è localmente integrabile, ma non globalmente. Più generalmente, le funzioni continue sono localmente integrabili.
  • La funzione per e non è localmente integrabile, perché la condizione cade negli intervalli contenenti l'origine.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) S. Saks, Theory of the integral , Hafner (1952)
  • (EN) G.P. Tolstov, On the curvilinear and iterated integral Trudy Mat. Inst. Steklov. , 35 (1950) pp. 1–101

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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