Se riscontri problemi nella visualizzazione dei caratteri, clicca qui

Convoluzione

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Nota disambigua.svg Disambiguazione – Se stai cercando la convoluzione tra funzioni aritmetiche, vedi Convoluzione di Dirichlet.
Convoluzione di due impulsi rettangolari e : la forma d'onda che ne risulta è un impulso triangolare. Si tratta del prodotto di una delle due funzioni, in tal caso , con l'altra riflessa rispetto a e traslata di , ottenendo . L'area del prodotto che ne risulta (in giallo) è il valore dell'integrale di convoluzione. Nell'asse orizzontale del grafico figurano i valori della variabile per rappresentare e , della variabile per .
Convoluzione di un impulso rettangolare con la risposta impulsiva tipica di un circuito RC: il valore della convoluzione è la risposta del circuito quando l'ingresso è l'impulso rettangolare.

In matematica, in particolare nell'analisi funzionale, la convoluzione è un'operazione tra due funzioni di una variabile che consiste nell'integrare il prodotto tra la prima e la seconda traslata di un certo valore. Ha una forte somiglianza con la correlazione incrociata.

La convoluzione viene utilizzata in vari campi della fisica, della statistica, dell'elettronica, dell'analisi d'immagini e della grafica computerizzata. Quando si studiano sistemi dinamici lineari stazionari, l'uscita è data dalla convoluzione tra il segnale in ingresso e la risposta all'impulso del sistema, la cui trasformata di Laplace (o la trasformata di Fourier) è la funzione di trasferimento del sistema.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Si considerino due funzioni e definite da in sé, con a supporto compatto e integrabile secondo Lebesgue su ogni compatto di . Si definisce convoluzione di e la funzione definita nel seguente modo:[1]

dove denota l'integrale definito sull'insieme dei numeri reali. Le limitazioni poste alle funzioni e assicurano che l'integrale sia un numero reale. È cioè l'integrale del prodotto delle due funzioni dopo che una delle funzioni di partenza è stata rovesciata e traslata, e si può considerare una forma di trasformata integrale. L'ultimo passaggio si può dimostrare considerando : operando la sostituzione nella prima formula si ottiene la seconda ritornando a chiamare con il nome di .

Spesso alla variabile si fa corrispondere il tempo, ed in tale contesto la convoluzione può essere descritta come la media pesata della funzione all'istante , dove la funzione peso è traslata di un intervallo , ed al cambiare di la funzione peso enfatizza parti diverse di .

Più in generale si possono considerare e definite su a valori in , la cui convoluzione è data da:

Se e sono due variabili casuali indipendenti con densità di probabilità e rispettivamente, allora la densità di probabilità della somma è data dalla convoluzione di con .[2]

Convoluzione circolare[modifica | modifica wikitesto]

Data una funzione periodica con periodo , la sua convoluzione con un'altra funzione è ancora una funzione periodica e può essere espressa come:

dove è un parametro arbitrario e è la sommazione periodica di , data da:[3]

Si tratta di una convoluzione periodica di e , e se è espressa come sommazione periodica di un'altra funzione tale operazione è detta convoluzione circolare o convoluzione ciclica di e .

Convoluzione discreta[modifica | modifica wikitesto]

Si considerino due funzioni e definite sull'insieme degli interi. La convoluzione discreta di con è data da:

Quando si moltiplicano due polinomi con coefficienti dati dalle successioni e la successione dei coefficienti del loro prodotto è data dal prodotto di Cauchy , il cui n-esimo elemento è dato da:

che è la convoluzione discreta delle due successioni. Essa equivale al prodotto di e considerati come elementi dell'anello sul gruppo dei numeri naturali .

Convoluzione discreta circolare[modifica | modifica wikitesto]

Data una funzione periodica con periodo , per funzioni tali che esiste la convoluzione discreta è periodica:

e la somma su k è una sommazione periodica di . Se è la sommazione periodica di un'altra funzione , la convoluzione è la convoluzione circolare di con . Se inoltre e presentano valori diversi da zero esclusivamente nell'intervallo allora assume la forma:

Dominio di definizione[modifica | modifica wikitesto]

La convoluzione di due funzioni e definite su a valori in :

è ben definita solo se e decrescono all'infinito abbastanza rapidamente da garantire l'esistenza dell'integrale.

Se e sono funzioni a supporto compatto, ovvero sono funzioni (in questo caso continue) che hanno per supporto un sottoinsieme compatto dell'insieme di definizione, allora la loro convoluzione esiste ed è continua a supporto compatto. Più in generale, se una delle due è a supporto compatto mentre l'altra è localmente integrabile, la loro convoluzione esiste ed è continua.

Se e sono Lebesgue-integrabili (in ) allora per il teorema di Tonelli la loro convoluzione è integrabile. Se e , con , allora e si ha:

In particolare, se tale relazione mostra che con l'operazione di convoluzione è un'algebra di Banach. Più in generale, la disuguaglianza di Young implica che la convoluzione è una funzione bilineare continua tra spazi . Nello specifico, se soddisfano la relazione:

allora:

sicché la convoluzione è una mappa bilineare continua da a .

Distribuzioni[modifica | modifica wikitesto]

Sotto opportune condizioni è possibile definire la convoluzione di una funzione con una distribuzione e la convoluzione tra due distribuzioni. Se è una funzione a supporto compatto e è una distribuzione, la loro convoluzione è una funzione liscia definita dall'analoga formulazione distribuzionale:

Più in generale, si può estendere la definizione convoluzione unicamente in modo che la proprietà associativa:

rimanga valida anche qualora sia una distribuzione e una distribuzione a supporto compatto.

Misure[modifica | modifica wikitesto]

La convoluzione di due misure di Borel e a variazione limitata è la misura definita come:

Tale definizione coincide con la precedente se e sono trattate come distribuzioni, e con la definizione di convoluzione di funzioni in quando e sono assolutamente continue rispetto alla misura di Lebesgue.

Inoltre, la convoluzione di due misure soddisfa la seguente versione della disuguaglianza di Young:

dove la norma è la variazione totale della misura.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

La convoluzione soddisfa le seguenti proprietà:

Dimostrazione

Partendo dalla definizione:

si applica la sostituzione:

da cui:

Ricordando che gli estremi di integrazione sono espressi in funzione di , esprimendoli in funzione di l'estremo inferiore diventa:

mentre l'stremo superiore:

Dato che nel caso di integrali definiti o impropri è possibile invertire gli estremi di integrazione:

  • Associatività per moltiplicazione per scalare
per ogni numero reale (o complesso) .
dove con si è denotata la derivata di o, nel caso discreto, l'operatore differenziale:

Teorema di convoluzione[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema di convoluzione.

Il teorema di convoluzione afferma che:

dove indica la trasformata di Fourier di . Altre versioni di questo teorema funzionano per la trasformata di Laplace e la trasformata di Mellin. La trasformata della convoluzione di due funzioni equivale al prodotto delle trasformate delle due funzioni stesse.

Convoluzione su gruppi[modifica | modifica wikitesto]

Se è un gruppo scelto in modo appropriato e la cui misura corrisponde al valore m (per esempio, un gruppo di Hausdorff localmente compatto con la misura di Haar e se e sono valori reali o complessi dell'm-integrale di , allora la loro convoluzione può essere definita dalla relazione:

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

La convoluzione e le relative operazioni sono usate in diverse applicazioni dell'ingegneria e della matematica.

  • In statistica, una media mobile pesata è una convoluzione. Anche la distribuzione di probabilità della somma di due variabili casuali indipendenti corrisponde alla convoluzione di ognuna delle loro distribuzioni.
  • In ottica, molte specie di "blur" sono descritte tramite la convoluzione. Un'ombra (ad esempio l'ombra su un tavolo che si vede quando gli si interpone un oggetto innanzi la fonte luminosa) è la convoluzione della forma della fonte di luce che sta proiettando l'ombra dell'oggetto illuminato e l'oggetto stesso. Una foto fuori fuoco è la convoluzione dell'immagine a fuoco con la forma del diaframma. Il termine fotografico per tale effetto è bokeh.
  • Analogamente, nell'elaborazione digitale delle immagini, i filtri convoluzionali assumono un importante compito negli algoritmi di calcolo dei margini e dei processi correlati.
  • Nell'elaborazione digitale dei segnali, il filtraggio di frequenza può essere semplificato convolvendo due funzioni (dati con un filtro) nel dominio del tempo, il che equivale a moltiplicare i dati con un filtro nel dominio di frequenza.
  • In acustica lineare, un'eco è la convoluzione del suono originale con una funzione geometrica che descrive i vari oggetti che stanno riflettendo il segnale sonoro.
  • In elaborazione digitale dei segnali, nella riverberazione artificiale la convoluzione è utilizzata per codificare la risposta ad impulso di una stanza reale ad un segnale audio digitale.
  • In ingegneria elettrica e in altre discipline, l'output (risposta) di un sistema dinamico lineare (stazionario) è la convoluzione di un input (eccitazione d'ingresso) con la risposta impulsiva del sistema (ovvero la risposta quando l'eccitazione d'ingresso è la funzione Delta di Dirac).
  • Nella spettroscopia a fluorescenza determinata a tempo, il segnale di eccitazione può essere trattato come una catena di impulsi delta, e la fluorescenza misurata è data dalla somma dei decadimenti esponenziali di ogni impulso delta.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ W. Rudin, Pag. 170
  2. ^ J. Jacod; P. Protter, Pag. 117
  3. ^ Infatti:

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Altri progetti[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

Matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica