Teorema di Radon-Nikodym

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In matematica, in particolare in analisi funzionale, il teorema di Radon-Nikodym è un risultato di notevole importanza nell'ambito delle misure assolutamente continue.

Il teorema è di particolare importanza nella teoria della probabilità, in quanto estende l'idea di misure discrete e misure continue di probabilità attraverso il concetto di misura di probabilità su un insieme arbitrario. Tra le applicazioni del teorema vi è inoltre la matematica finanziaria, che lo utilizza nel prezzamento dei derivati.

Il teorema[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema di Radon–Nikodym afferma che se una misura su uno spazio misurabile è assolutamente continua rispetto ad una misura sigma-finita sullo stesso spazio, allora esiste una funzione misurabile definita su a valori non negativi tale che:[1]

per ogni insieme .

Il teorema è stato dimostrato da Johann Radon nel 1913 nel caso e generalizzato da Otton Nikodym nel 1930.

La funzione si dice derivata di Radon-Nikodym di rispetto e si indica con .

Proprietà della derivata di Radon-Nikodym[modifica | modifica wikitesto]

La derivata di Radon-Nikodym gode delle seguenti proprietà:

  • Se e allora:
  • Se allora:
  • Se g è una funzione -integrabile su X e , con allora:

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

La dimostrazione riportata nel seguito si svolge nell'ambito della teoria della misura. Esiste un'altra dimostrazione, dovuta a von Neumann, ambientata in spazi di Hilbert.

Misure finite[modifica | modifica wikitesto]

Per mostrare l'esistenza della derivata di Radon-Nikodym, siano e misure finite non negative, e sia l'insieme delle funzioni misurabili che soddisfano:

L'insieme non è vuoto, poiché contiene almeno la funzione nulla. Siano , un insieme misurabile e:

Allora si ha:

e dunque .

Sia ora una successione di funzioni in tali che:

Sostituendo con il max delle prime n funzioni si può assumere che la successione è crescente. Sia la funzione definita come:

Per mostrare che è la funzione cercata, cioè che il suo integrale su rispetto a vale esattamente , si nota che dal teorema della convergenza monotona per l'integrale di Lebesgue:

e quindi . Inoltre, dalla costruzione di segue:

Dato che succede che la scrittura:

definisce una misura non negativa su . Supponendo quindi per assurdo , dato che è finita c'è un tale che . Sia allora la decomposizione di Hahn per la misura con segno . Per ogni si ha:

e quindi:

dove è la funzione indicatrice relativa all'insieme .[2] Essendo che:

la funzione e soddisfa:

ma questo è impossibile, e quindi l'assunzione iniziale che deve essere falsa.

Dato che è μ-integrabile, l'insieme è μ-nullo. Quindi è definita come:

e possiede le proprietà richieste.

Come per l'esistenza, siano due funzioni misurabili che soddisfano:

per ogni insieme misurabile . Quindi è integrabile rispetto a e:

In particolare, questo succede per o . Segue che:

sicché quasi ovunque. Accade lo stesso per , e così quasi ovunque.

Misure positive σ-finite[modifica | modifica wikitesto]

Se e sono σ-finite, allora può essere scritto come l'unione di una successione di insiemi disgiunti in , ognuno dei quali ha misura finita sia rispetto a che . Per ogni n esiste una funzione -misurabile tale che:

per ogni sottoinsieme che è -misurabile. L'unione di tali funzioni è la funzione richiesta. Come per l'unicità, dato che ogni è unica quasi ovunque (relativamente a ), lo è anche .

Misure con segno e complesse[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Misura con segno e Misura complessa.

Se è una misura σ-finita con segno, si può utilizzare la decomposizione di Hahn–Jordan dove una delle due misure è finita. Applicando i precedenti risultati si ottengono due funzioni che soddisfano il teorema di Radon–Nikodym per e rispettivamente, di cui almeno una è μ-integrabile. La funzione soddisfa le proprietà richieste, compresa l'unicità in quanto sia che sono uniche quasi ovunque.

Se è complessa, può essere decomposta come , dove sia che sono misure finite con segnno. Procedendo come sopra, si ottengono due funzioni che soddisfano le proprietà richieste per e rispettivamente. La funzione cercata è dunque .

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ W. Rudin, Pag. 122
  2. ^ Si nota che ; se fosse nulla, poiché è assolutamente continua rispetto a si avrebbe , quindi e:
    contraddicendo il fatto che .

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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