Teorema di Radon-Nikodym

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In matematica, in particolare in analisi funzionale, il teorema di Radon-Nikodym è un risultato di notevole importanza nell'ambito delle misure assolutamente continue.

Il teorema è di particolare importanza nella teoria della probabilità, in quanto estende l'idea di misure discrete e misure continue di probabilità attraverso il concetto di misura di probabilità su un insieme arbitrario. Tra le applicazioni del teorema vi è inoltre la matematica finanziaria, che lo utilizza nel prezzamento dei derivati.

Il teorema[modifica | modifica sorgente]

Il teorema di Radon–Nikodym afferma che se una misura \nu su uno spazio misurabile (X,\Sigma) è assolutamente continua rispetto ad una misura \mu sigma-finita sullo stesso spazio, allora esiste una funzione misurabile f definita su X a valori non negativi tale che:[1]

\nu (A)=\int_A f d\mu

per ogni insieme A \in \Sigma.

Il teorema è stato dimostrato da Johann Radon nel 1913 nel caso X=\R^n e generalizzato da Otton Nikodym nel 1930.

La funzione f si dice derivata di Radon-Nikodym di \nu rispetto \mu e si indica con d \nu \over d \mu.

Proprietà della derivata di Radon-Nikodym[modifica | modifica sorgente]

La derivata di Radon-Nikodym gode delle seguenti proprietà:

  • Se \nu \ll \mu e \lambda \ll \mu allora:
{d (\nu + \lambda) \over d \mu}= {d \nu \over d \mu} + {d \lambda \over d \mu}
  • Se \nu \ll \mu\ll \sigma allora:
{d \nu \over d\sigma}={d\nu \over d\mu}{d\mu \over d\sigma}
  • Se g è una funzione \nu-integrabile su X e \nu \ll \mu, con f=d \nu / d \mu allora:
\int gd\nu=\int gfd\mu
{d|\nu| \over d\mu}=\left|{d\nu \over d\mu}\right|

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

La dimostrazione riportata nel seguito si svolge nell'ambito della teoria della misura. Esiste un'altra dimostrazione, dovuta a von Neumann, ambientata in spazi di Hilbert.

Misure finite[modifica | modifica sorgente]

Per mostrare l'esistenza della derivata di Radon-Nikodym, siano \mu e \nu misure finite non negative, e sia F l'insieme delle funzioni misurabili f : X \to [0, + \infty) che soddisfano:

\int_A f\,d\mu\leq\nu(A) \qquad \forall A \in \Sigma

L'insieme F non è vuoto, poiché contiene almeno la funzione nulla. Siano f_1, f_2 \in F, A un insieme misurabile e:

A_1 = \{ x \in A : f_1(x) > f_2(x)\} \qquad A_2 = \{ x \in A : f_2(x) \ge f_1(x)\}

Allora si ha:

\int_A\max\{f_1,f_2\}\,d\mu = \int_{A_1} f_1\,d\mu+\int_{A_2} f_2\,d\mu \leq \nu(A_1)+\nu(A_2)=\nu(A)

e dunque \max\{f_1,f_2\} \in F.

Sia ora \{ f_n \} una successione di funzioni in F tali che:

\lim_{n\to\infty}\int_X f_n\,d\mu=\sup_{f\in F} \int_X f\,d\mu

Sostituendo f_n con il max delle prime n funzioni si può assumere che la successione \{ f_n \} è crescente. Sia g la funzione definita come:

g(x):=\lim_{n\to\infty}f_n(x)

Per mostrare che g è la funzione cercata, cioè che il suo integrale su A rispetto a \mu vale esattamente \nu(A), si nota che dal teorema della convergenza monotona per l'integrale di Lebesgue:

\int_A g\,d\mu=\lim_{n\to\infty} \int_A f_n\,d\mu \leq \nu(A) \qquad \forall A \in \Sigma

e quindi g \in F. Inoltre, dalla costruzione di g segue:

\int_X g\,d\mu=\sup_{f\in F}\int_X f\,d\mu

Dato che g \in F succede che la scrittura:

\nu_0(A):=\nu(A)-\int_A g\,d\mu

definisce una misura non negativa su \Sigma. Supponendo quindi per assurdo \nu_0 \ne 0, dato che \mu è finita c'è un \varepsilon > 0 tale che \nu_0(X)> \varepsilon \mu(X). Sia allora (P,N) la decomposizione di Hahn per la misura con segno \nu_0 - \varepsilon \mu. Per ogni A \in \Sigma si ha:

\nu_0(A \cap P) \ge \varepsilon \mu(A \cap P)

e quindi:


\begin{align}
\nu(A) &=\int_A g\,d\mu+\nu_0(A) \geq \int_A g\,d\mu+\nu_0(A\cap P)\\
       &\geq \int_A g\,d\mu +\varepsilon\mu(A\cap P) =\int_A(g+\varepsilon 1_P)\,d\mu \\
\end{align}

dove 1_P è la funzione indicatrice relativa all'insieme P.[2] Essendo che:

\int_X(g+\varepsilon1_P)\,d\mu \leq \nu(X) < +\infty

la funzione g+\varepsilon1_P \in F e soddisfa:

\int_X (g+\varepsilon 1_P)\,d\mu>\int_X g\,d\mu=\sup_{f\in F}\int_X f\,d\mu

ma questo è impossibile, e quindi l'assunzione iniziale che \nu_0 \ne 0 deve essere falsa.

Dato che g è μ-integrabile, l'insieme \{x \in X : g(x)= + \infty \} è μ-nullo. Quindi f è definita come:

f(x)=\begin{cases} g(x)&\text{if }g(x) < \infty\\0&\text{altrimenti}\end{cases}

e possiede le proprietà richieste.

Come per l'esistenza, siano f,g : X \to [0, + \infty) due funzioni misurabili che soddisfano:

\nu(A)=\int_A f\,d\mu=\int_A g\,d\mu

per ogni insieme misurabile A. Quindi g-f è integrabile rispetto a \mu e:

\int_A (g-f)\,d\mu=0

In particolare, questo succede per A=\{ x \in X : f(x) > g(x) \} o A=\{ x \in X : f(x) < g(x) \}. Segue che:

\int_X (g-f)^+\,d\mu=0=\int_X (g-f)^-\,d\mu

sicché (g-f)^+ = 0 quasi ovunque. Accade lo stesso per (g-f)^-, e così f = g quasi ovunque.

Misure positive σ-finite[modifica | modifica sorgente]

Se \mu e \nu sono σ-finite, allora X può essere scritto come l'unione di una successione \{ B_n \}_n di insiemi disgiunti in \Sigma, ognuno dei quali ha misura finita sia rispetto a \mu che \nu. Per ogni n esiste una funzione \Sigma-misurabile f_n : B_n \to [0, + \infty) tale che:

\nu(A)=\int_A f_n\,d\mu

per ogni sottoinsieme A \in B_n che è \Sigma-misurabile. L'unione f di tali funzioni è la funzione richiesta. Come per l'unicità, dato che ogni f_n è unica quasi ovunque (relativamente a \mu), lo è anche f.

Misure con segno e complesse[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Misura con segno e Misura complessa.

Se \nu è una misura σ-finita con segno, si può utilizzare la decomposizione di Hahn–Jordan \nu = \nu^+ - \nu^- dove una delle due misure è finita. Applicando i precedenti risultati si ottengono due funzioni g,h : X \to [0, + \infty) che soddisfano il teorema di Radon–Nikodym per \nu^+ e \nu^- rispettivamente, di cui almeno una è μ-integrabile. La funzione f = g-h soddisfa le proprietà richieste, compresa l'unicità in quanto sia g che h sono uniche quasi ovunque.

Se \nu è complessa, può essere decomposta come \nu = \nu_1 + i\nu_2, dove sia \nu_1 che \nu_2 sono misure finite con segnno. Procedendo come sopra, si ottengono due funzioni g,h : X \to [0, + \infty) che soddisfano le proprietà richieste per \nu_1 e \nu_2 rispettivamente. La funzione cercata è dunque f = g + ih.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 122
  2. ^ Si nota che \mu(P)>0; se fosse nulla, poiché \nu è assolutamente continua rispetto a \mu si avrebbe \nu_0(P) \le \nu(P)=0, quindi \nu_0(P) =0 e:
    \nu_0(X)-\varepsilon\mu(X)=(\nu_0-\varepsilon\mu)(N)\leq 0
    contraddicendo il fatto che \mu(X) > \varepsilon \mu(X).

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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