Continuità assoluta

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In matematica, il concetto di continuità assoluta si applica a due concetti distinti.

Continuità assoluta delle funzioni reali[modifica | modifica wikitesto]

In matematica, una funzione a valori reali di una variabile reale è assolutamente continua se per ogni numero positivo piccolo a piacere esiste un numero positivo tale che per ogni successione (finita o infinita) di intervalli disgiunti tali che:

allora:[1]

Ogni funzione assolutamente continua risulta a variazione limitata e uniformemente continua e, di conseguenza, continua. Ogni funzione lipschitziana è assolutamente continua, mentre non è vero il viceversa. La funzione di Cantor, ad esempio, è continua in tutto il suo dominio, ma non è assolutamente continua.

Teorema fondamentale del calcolo integrale di Lebesgue[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema fondamentale del calcolo integrale.

Dato per ipotesi che una funzione sia a variazione limitata, l'assoluta continuità è condizione necessaria e sufficiente alla validità del teorema fondamentale del calcolo integrale.

Una funzione definita sull'intervallo compatto a valori in è assolutamente continua se possiede una derivata definita quasi ovunque e integrabile secondo Lebesgue tale che:

In modo equivalente, esiste una funzione su integrabile secondo Lebesgue tale che:

Tale definizione di assoluta continuità è detta teorema fondamentale del calcolo integrale di Lebesgue. Se le precedenti condizioni equivalenti sono verificate si ha:

quasi ovunque.

Generalizzazioni[modifica | modifica wikitesto]

Sia uno spazio metrico e un intervallo. Una funzione è assolutamente continua su se per ogni numero positivo esiste un numero positivo tale che, se una sequenza finita di sotto-intervalli mutuamente disgiunti di soddisfa:

allora:

L'insieme delle funzioni assolutamente continue da a è denotato con .

Un'ulteriore generalizzazione è lo spazio delle curve tali che:

per qualche nello spazio .

Continuità assoluta delle misure[modifica | modifica wikitesto]

Se e sono misure sulla stessa sigma-algebra, la misura si dice assolutamente continua rispetto a se per ogni insieme per il quale . Questa situazione viene presentata con la scrittura .[2]

In modo equivalente, per ogni esiste tale che:

per ogni insieme della sigma-algebra tale che:[3]

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Se esiste un insieme tale per cui:

per ogni insieme della sigma-algebra, allora tale misura si dice concentrata su .

Misure concentrate su insiemi rispettivamente disgiunti sono dette mutuamente singolari. In particolare, se e sono mutuamente singolari si scrive .

Un teorema di particolare importanza nell'ambito della continuità assoluta delle misure afferma che se e sono due misure limitate, allora esiste un'unica coppia di misure positive tali che:

La decomposizione:

è detta decomposizione di Lebesgue di relativamente a , ed è unica.[4]

Il teorema di Radon-Nikodym afferma inoltre che esiste un'unica funzione tale che:

per ogni insieme della sigma-algebra. Il teorema stabilisce, in particolare, che esiste una funzione misurabile a valori in , denotata con:

tale che per ogni insieme misurabile A si ha:

La funzione si dice derivata di Radon-Nikodym di rispetto .

Collegamento fra continuità assoluta delle funzioni reali e delle misure[modifica | modifica wikitesto]

Una misura sui sottoinsiemi di Borel della retta reale è assolutamente continua rispetto alla misura di Lebesgue se e solo se la funzione:

è una funzione reale assolutamente continua.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ W. Rudin, Pag. 165
  2. ^ W. Rudin, Pag. 121
  3. ^ W. Rudin, Pag. 125
  4. ^ W. Rudin, Pag. 122

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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