Funzione di probabilità

In teoria della probabilità, una funzione di probabilità (talvolta chiamata funzione di massa di probabilità o densità discreta) è una funzione di variabile reale che rappresenta la probabilità che una variabile casuale discreta assuma esattamente un determinato valore.

Nel caso in cui la variabile casuale sia continua, cioè l'insieme dei possibili valori ha la potenza del continuo, allora tale probabilità è sempre nulla. Nel caso continuo si utilizza pertanto la funzione di ripartizione e la sua derivata, la funzione di densità di probabilità.

La funzione di massa di probabilità è spesso lo strumento principale per definire una distribuzione di probabilità discreta e tali funzioni esistono per variabili casuali sia scalari sia multivariate il cui dominio è discreto.

Una funzione di massa di probabilità differisce da una funzione di densità di probabilità continua in quanto quest'ultima è associata a variabili casuali continue anziché discrete. Una funzione di densità di probabilità continua deve essere integrata su un intervallo per ottenere una probabilità.

Il valore della variabile casuale che possiede la massa di probabilità maggiore è chiamato moda.

Definizione

Data una variabile casuale discreta $X\colon S\rightarrow \mathbb {R}$ , la funzione di probabilità è la funzione

p_{X}(x)=P(X=x)=P(\{s\in S:X(s)=x\})

che associa ad ogni valore $x$ assunto dalla variabile casuale $X$ la probabilità che la variabile $X$ assuma esattamente quel valore. Inoltre, deve essere soddisfatta la seguente equazione:

\sum _{i=1}^{\infty }p_{X}(x_{i})=1.

Per estendere tale definizione a tutta la retta reale, si assume che per ogni valore $x$ che $X$ non può assumere (cioè non contenuto nel supporto di $X$ ) essa vale 0, cioè:

p_{X}\colon \mathbb {R} \longrightarrow [0,1],\,p_{X}(x)={\begin{cases}P(X=x),&x\in S,\\0,&x\in \mathbb {R} \backslash S.\end{cases}}

Dato che $S$ , il supporto di $X$ , è un insieme numerabile, la $p_{X}(x)$ è una funzione nulla quasi ovunque.

Nel caso di variabili multivariate discrete (cioè con supporto un sottoinsieme discreto di $\mathbb {R} ^{n}$ ) $X=(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})$ , la funzione di probabilità congiunta è definita come segue:

p_{X}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=P((X_{1}=x_{1})\cap (X_{2}=x_{2})\cap \ldots \cap (X_{n}=x_{n})).

Il secondo membro spesso, per comodità di notazione, si scrive più semplicemente $P(X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2},\ldots ,X_{n}=x_{n}).$

La funzione di probabilità marginale della $i$ -esima componente si ricava grazie al teorema della probabilità assoluta. Sia $n=2$ per semplicità; allora da $(X=t)=(X=t)\cap \Omega$ ne deriva

p_{X}(t)=P(X=t,Y\in \mathbb {R} )=\sum _{y\in R_{Y}}P(X=t,Y=y).

Relazioni con la funzione di ripartizione

Se indichiamo con $F_{X}$ la funzione di ripartizione di $X$ , allora

$p_{X}(x)=F_{X}(x)-F_{X}(x^{-})$ , dove con $F_{X}(x^{-})$ si indica il limite sinistro della $F_{X}$ in $x.$

Da ciò si deduce che, se $X$ è una variabile casuale continua, tale valore è nullo in ogni punto, poiché la sua funzione di ripartizione è continua. Dunque ha senso definire tale funzione solo per variabili aleatorie discrete.

$F_{X}(x)=\sum _{\xi \leq x}p_{X}(\xi ).$

Un caso molto particolare di densità

La funzione di probabilità può essere pensata come una densità, cioè in termini integrali, grazie all'approccio assiomatico di Kolmogorov che si basa sulla teoria della misura: se si pensa infatti di munire lo spazio campionario $\mathbb {R}$ della misura del conteggio (counting measure in inglese) $c$ risulta:

P(X\in A)=\sum _{x\in A}p_{X}(x)=\sum _{x\in A}p_{X}(x)\cdot 1=\sum _{x\in A}p_{X}(x)\cdot c(\{x\})=\int _{\bigcup _{x\in A}\{x\}}p(x)dc=\int _{A}p(x)dc,

cioè la funzione di probabilità risulta essere una densità rispetto alla misura del conteggio, diversa da quella di Lebesgue.

Questa osservazione permette innanzitutto di unificare, quando conveniente, le due grandi classi di variabili discrete e continue in un'unica trattazione in termini di densità (per una opportuna misura) e poi evita di far nascere problemi di natura teorica quando si vanno a considerare variabili casuali vettoriali del tipo $(X,Y)$ , dove una delle due è discreta e l'altra è continua: basta fornire lo spazio campionario prodotto della misura $c\times \mu$ (nel caso $X$ discreta), dove $\mu$ sarà l'usuale misura di Lebesgue.