Teorema della probabilità assoluta

In teoria della probabilità il teorema della probabilità assoluta (detto anche teorema delle partizioni) afferma che se $\ A_{1},\ldots ,A_{n}$ formano una partizione dello spazio campionario di tutti gli eventi possibili $\ \Omega$ (ossia $\ A_{i}\cap A_{j}=\varnothing \ \forall i\neq j$ e $\cup _{i=1}^{n}A_{i}=\Omega$) e $\ B$ è un qualsiasi evento (dipendente dagli eventi $A_{i}$), allora:

${\mbox{P}}(B)=\sum _{i=1}^{n}{\mbox{P}}(A_{i}\cap B)=\sum _{i=1}^{n}{\mbox{P}}(A_{i}){\mbox{P}}(B|A_{i})$

Dimostrazione

La dimostrazione di questo risultato segue immediatamente dal fatto che:

$\ B=(A_{1}\cap B)\cup (A_{2}\cap B)\cup \cdots \cup (A_{n}\cap B)$

dunque, per l'additività della probabilità, essendo gli eventi a due a due incompatibili:

$\ {\mbox{P}}(B)=\sum _{i}{\mbox{P}}(A_{i}\cap B)$

Ma poiché, in base alla definizione di probabilità condizionata: $\ {\mbox{P}}(A_{i}\cap B)={\mbox{P}}(A_{i}){\mbox{P}}(B|A_{i})$, si ha:

$\ {\mbox{P}}(B)=\sum _{i}{\mbox{P}}(A_{i}){\mbox{P}}(B|A_{i})$

come volevasi dimostrare.

Voci correlate

• Teorema della probabilità composta
• Teorema di Bayes

Collegamenti esterni

• (EN) law of total probability, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.