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Sigma additività

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In matematica, l'additività e σ-additività (sigma additività) di una funzione definita su dei sottoinsiemi di un insieme dato sono astrazioni delle proprietà della misura (lunghezza, area, volume) di un insieme: la "misura" dell'unione di due insiemi disgiunti non è altro che la somma delle due misure singole.

Definizioni[modifica | modifica wikitesto]

Sia un'algebra di insiemi. Una funzione definita su a valori in (vedi retta reale estesa) è detta (finitamente) additiva se, per ogni e disgiunti in , si ha:

La funzione è detta numerabilmente additiva o σ-additiva se per ogni successione di insiemi disgiunti in tali che la loro unione numerabile stia ancora in si ha:[1]

Ogni funzione σ-additiva è una funzione additiva, ma non vale il contrario.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Come conseguenza della definizione si ha che una funzione additiva non può prendere sia che come valori, perché l'espressione è indefinita. Si può dimostrare per induzione matematica che una funzione additiva soddisfa:

per ogni collezione finita di insiemi disgiunti in .

Utili proprietà di una funzione additiva sono:

  • .
  • Se è non negativa e , allora .
  • Se allora .
  • Dati e , .

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Un esempio di funzione σ-additiva è la funzione definita sull'insieme delle parti dei numeri reali, tale che:

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Se è in particolare una σ-algebra, allora l'ipotesi riguardante l'unione degli è sempre verificata.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) N. Bourbaki, Elements of mathematics. Integration, Addison-Wesley (1975) pp. Chapt.6;7;8
  • (EN) N. Dunford, J.T. Schwartz, Linear operators. General theory, 1, Interscience (1958)

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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