Distribuzione Beta

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Distribuzione
Funzione di densità di probabilità
Funzione di densità di probabilità
Funzione di ripartizione
Funzione di ripartizione
Parametri
Supporto
Funzione di densità
Funzione di ripartizione
(funzione Beta incompleta regolarizzata)
Valore atteso
Mediana
Moda se


se e
se e

Varianza
Indice di asimmetria
Curtosi
Entropia
Funzione generatrice dei momenti
Funzione caratteristica

In teoria delle probabilità e in statistica la distribuzione (Beta) è una distribuzione di probabilità continua definita da due parametri e sull'intervallo unitario .

Questa distribuzione trova particolare utilizzo nella statistica bayesiana perché governa la probabilità di un processo di Bernoulli a posteriori dell'osservazione di "successi" e "fallimenti", quando è a priori distribuita uniformemente tra e .

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

La distribuzione Beta di parametri (entrambi positivi) è definita sull'intervallo con funzione di densità di probabilità

.

In altri termini la funzione di densità di probabilità è proporzionale alla funzione

,

riscalata per un fattore dato dalla funzione Beta

;

in questo modo ha probabilità totale .

La sua funzione di ripartizione è la funzione Beta incompleta regolarizzata

.

Caratteristiche[modifica | modifica wikitesto]

I momenti semplici di una variabile aleatoria con distribuzione Beta di parametri sono

,

dove indica il fattoriale crescente con k fattori, . (L'ultima uguaglianza può essere dedotta dall'espressione della funzione Beta attraverso la funzione Gamma, e dalla proprietà .)

I momenti semplici soddisfano quindi la relazione ricorsiva

.

Inoltre la distribuzione ha:

  • valore atteso ;
  • varianza ;
  • indice di asimmetria ;
  • indice di curtosi .

I parametri e possono essere determinati univocamente dal valore atteso e dalla varianza:

;
.

Queste formule vengono applicate nel metodo dei momenti con la media e la varianza osservate su un campione.

L'entropia è

,

dove è la funzione digamma.

La moda della distribuzione dipende dai segni di e , ed è unica solo se almeno uno dei due è positivo:

se e allora la moda è ;
se (o ) e allora la moda è 1;
se (o ) e allora la moda è 0.

(La funzione di densità di probabilità ha un asintoto in 0 se , in 1 se .)

Relazioni con altre distribuzioni[modifica | modifica wikitesto]

Una distribuzione Beta può essere definita su un qualunque intervallo , prendendo .

Se segue la distribuzione Beta di parametri allora segue la distribuzione Beta di parametri .

  • Per la densità di probabilità della distribuzione Beta descrive la metà superiore di una circonferenza: , descrive un semicerchio. La variabile aleatoria segue una distribuzione di Wigner di parametro r.
  • Se e sono due variabili aleatorie indipendenti con distribuzioni Gamma di rispettivi parametri e , allora la variabile aleatoria segue la distribuzione Beta di parametri .
  • Se la variabile aleatoria segue la distribuzione Beta di parametri allora la variabile aleatoria è descritta dalla distribuzione Beta del secondo tipo, che ha funzione di densità di probabilità
  • La distribuzione di Wilks può essere interpretata come la distribuzione che governa il prodotto di n variabili aleatorie indipendenti con rispettivi parametri .
  • Se è una variabile aleatoria con distribuzione di Kumaraswamy di parametri allora segue la distribuzione Beta di parametri .

Statistica bayesiana[modifica | modifica wikitesto]

La distribuzione Beta e il processo di Bernoulli[modifica | modifica wikitesto]

Se X è distribuita come una v.c. binomiale con parametri n e π

e il parametro π è distribuito a priori come una v.c. Beta con i parametri a e b

allora il parametro π è distribuito a posteriori anch'esso come una v.c. Beta, ma con parametri a+x e b+n-x

Qualora la distribuzione a priori sia una variabile casuale rettangolare nell'intervallo [0;1] (ovvero ipotizzando a priori tutti i possibili valori di π equiprobabili), e pertanto a=1 e b=1, allora la distribuzione a posteriori è una Beta con parametri x+1 e n-x+1

che ha come valore modale p (e dunque come valore più probabile)

, che corrisponde alla frequenza osservata che è la stima usata in ambito frequentistico

mentre il valore che minimizza lo scarto quadratico, ovvero la media è

, che per x<n/2 è maggiore del valore modale

Infatti, la probabilità di ottenere successi e fallimenti in un processo di Bernoulli di parametro p è , proporzionale alla densità della distribuzione Beta di parametri .

Pertanto, se la variabile aleatoria segue una distribuzione binomiale con parametro aleatorio P distribuito a priori uniformemente sull'intervallo unitario , a posteriori dell'osservazione il parametro P segue la distribuzione .

Più in generale, se è una variabile aleatoria con distribuzione binomiale e il parametro P segue a priori la distribuzione , allora a posteriori dell'osservazione il parametro P segue la distribuzione .

Il caso della distribuzione uniforme a priori è un caso particolare di quest'ultimo, essendo .

Priori coniugati e la v.c. binomiale negativa[modifica | modifica wikitesto]

Se X è distribuita come una v.c. binomiale negativa con parametri m e θ

e il parametro θ è distribuito a priori come una v.c. Beta con i parametri a e b

allora il parametro θ è distribuito a posteriori anch'esso come una v.c. Beta, ma con parametri a+m e b+x

Qualora la distribuzione a priori sia una variabile casuale rettangolare nell'intervallo [0;1] (ovvero ipotizzando a priori tutti i possibilii valori di θ equiprobabili), e pertanto a=1 e b=1, allora la distribuzione a posteriori è una Beta con parametri m+1 e x+1

che ha come valore modale t (e dunque come valore più probabile)

t=m/(m+x)

Similmente, se la variabile aleatoria segue la distribuzione di Pascal e P segue a priori la distribuzione , allora a posteriori dell'osservazione il parametro P segue la distribuzione .

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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