Funzione caratteristica (teoria della probabilità)

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Nella teoria della probabilità, la funzione caratteristica di una generica distribuzione di probabilità definita sulla retta reale, concetto principalmente sistematizzato da Lukacs, è genericamente una qualsiasi funzione del tipo:

dove è una qualsiasi variabile casuale con la distribuzione in questione, è un numero reale, E indica il valore atteso e è la funzione di distribuzione cumulativa. La seconda definizione è un integrale di Riemann-Stieltjes ed è valida indipendentemente dall'esistenza della funzione di densità di probabilità, mentre l'ultima è valida nel caso la densità esista.

Se è una variabile casuale vettoriale, si può considerare l'argomento come vettore e come prodotto scalare.

Descrizione[modifica | modifica wikitesto]

Una funzione caratteristica esiste per ogni variabile casuale. Inoltre, esiste una biiezione fra funzioni di distribuzione cumulativa e funzioni caratteristiche. In altre parole, due distribuzioni di probabilità non condividono mai la stessa funzione caratteristica, a meno che non coincidano.

Data una funzione caratteristica , è possibile ricostruire la funzione di ripartizione :

In generale questo è un integrale improprio; la funzione integranda può essere anche condizionatamente integrabile piuttosto che Lebesgue-integrabile, cioè l'integrale del suo valore assoluto può essere infinito.

Si può inoltre accedere, qualora esista, alla funzione di densità di probabilità operando come segue

Compare così la definizione di seno all'interno dell'integrale

Facendo il limite di otteniamo

Le funzioni caratteristiche sono usate nella dimostrazione più comune del teorema del limite centrale.

Le funzioni caratteristiche possono essere anche usate per trovare i momenti di una variabile casuale. A condizione che il momento -esimo esista, la funzione caratteristica può essere derivata volte e

Nozioni correlate includono la funzione generatrice dei momenti e la funzione generatrice di probabilità.

La funzione caratteristica è strettamente legata alla trasformata di Fourier: La funzione caratteristica di una distribuzione con funzione di densità è proporzionale alla trasformata di Fourier inversa di .

Le funzioni caratteristiche sono particolarmente utili nel trattare funzioni di variabili casuali indipendenti. Ad esempio, se è una successione di variabili casuali indipendenti, e

dove le sono costanti, allora la funzione caratteristica per è data da

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Giorgio Dall'Aglio, Calcolo delle probabilità, Zanichelli, Bologna, 2003

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica