Integrale di Riemann-Stieltjes

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In analisi matematica, l'integrale di Riemann-Stieltjes è una generalizzazione dell'integrale di Riemann. L'integrale prende il nome dai matematici Bernhard Riemann e Thomas Joannes Stieltjes.

Una generalizzazione di questo operatore è data dall'integrale di Lebesgue-Stieltjes.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Date due funzioni di variabile reale , sia una partizione dell'intervallo . Da ognuno dei sottointervalli definiti dalla partizione si consideri un punto . Il calibro della partizione è la massima ampiezza tra i sottointervalli della partizione:

L'integrale di Riemann-Stieltjes di rispetto a , denotato da:

è definito come il seguente limite:

se esso esiste indipendentemente dalla scelta dei punti . La funzione è definita integranda, mentre è la funzione integratrice.

Esistono diversi teoremi riguardanti l'esistenza del limite sopra definito; la condizione di esistenza più semplice stabilisce che la funzione integranda sia continua, e la funzione integratrice sia a variazione limitata; quest'ultima condizione equivale a chiedere che sia la differenza di due funzioni monotone. Un'altra condizione di esistenza è che le due funzioni non condividano alcuno punto di discontinuità.

Legami con gli altri tipi di integrali[modifica | modifica wikitesto]

Perché l'integrale sopra definito esista, sono richieste condizioni più deboli rispetto a quelle dell'integrale di Riemann. Se la funzione è di classe , ovvero derivabile e con derivata continua, l'integrale sopra definito coincide con l'integrale di Riemann:

In generale, tuttavia, la funzione integratrice può presentare discontinuità di salto o altre irregolarità che rendono impossibile utilizzare l'espressione che contiene la sua derivata (come ad esempio nel caso della funzione di Cantor). È così possibile estendere la nozione di integrabilità anche a molti casi non trattabili tramite l'integrale di Riemann. Inoltre, per l'integrale di Riemann-Stieltjes valgono tutte le usuali proprietà dell'integrale di Riemann.

È possibile estendere ancora la classe delle funzioni integrabili, considerando l'integrale di Lebesgue; tuttavia se si ammettono integrali impropri, quest'ultimo non può essere considerato in senso stretto come una generalizzazione dell'integrale di Riemann-Stieltjes. L'integrale di Lebesgue-Stieltjes costituisce la generalizzazione degli integrali di Riemann-Stieltjes e Lebesgue.

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

L'integrale di Riemann-Stiltjes trova applicazione in molti campi della matematica e della fisica, laddove si incontrano funzioni non integrabili secondo Riemann.

Fisica[modifica | modifica wikitesto]

In fisica è possibile esprimere numerose quantità per mezzo di integrali; ad esempio, la massa di un oggetto può essere espressa come somma infinita delle infinitesime masse che la compongono, o del prodotto tra densità e volume:

La prima espressione ha tuttavia significato solo se la massa ha una distribuzione continua nello spazio; la seconda, se calcolata come integrale di Riemann-Stieltjes, consente di dare significato all'integrale anche nel caso di distribuzioni di massa discontinue (ad esempio puntiformi).

Distribuzioni di probabilità[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri una funzione di ripartizione di una variabile aleatoria ; la derivata di è la sua densità di probabilità. Data una funzione per cui il valore atteso è finito, vale la formula:

Se per la variabile aleatoria non è possibile definire una funzione di densità di probabilità (ad esempio se ha una distribuzione discreta), non è possibile applicare la formula precedente; utilizzando l'integrale di Riemann-Stieltjes, si può invece esprime il valore atteso di come:

per qualunque distribuzione cumulativa di probabilità.

Analisi funzionale[modifica | modifica wikitesto]

Lo spazio duale dello spazio di Banach delle funzioni continue sull'intervallo si può rappresentare come lo spazio formato dagli integrali di Riemann-Stieltjes rispetto a funzioni a variazione limitata.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]