Funzione a variazione limitata

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La funzione non è a variazione limitata

In analisi matematica, una branca della matematica, una funzione di variabile reale si dice a variazione limitata se la sua "variazione totale" è finita. Intuitivamente, le funzioni a variazione limitata in una variabile sono quelle per cui la distanza percorsa da un punto che si muove lungo il suo grafico è finita in ogni intervallo finito. Una funzione che non è a variazione limitata è il cosiddetto "seno del topologo", cioè

se considerata in un qualsiasi intervallo che contenga lo 0, poiché all'avvicinarsi di a 0, la curva presenta infinite oscillazioni tra -1 e 1.

In più dimensioni il significato della definizione è lo stesso, tranne per il fatto che il cammino dell'ipotetico punto non può essere tutto il grafico della funzione (che sarà in generale una superficie o una ipersuperficie), ma sarà ogni intersezione di tale grafico con un piano parallelo agli assi.

Le funzioni a variazione limitata rivestono una notevole importanza nell'integrale di Riemann-Stieltjes e nel calcolo delle variazioni, poiché risultano essere le scelte naturali per trovare la soluzione in problemi di superficie minima come il problema di Didone.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Funzioni di una variabile[modifica | modifica wikitesto]

Si definiscono innanzitutto le variazioni (rispettivamente positiva, negativa e totale) di una funzione definita in un intervallo chiuso e limitato a valori reali come

dove è un'arbitraria partizione dell'intervallo e il suo calibro (ossia l'ampiezza del massimo intervallo della partizione); e sono la parte positiva e parte negativa di una funzione.

Vale la relazione

e che se la funzione è monotona a tratti, allora la sua variazione totale è la somma delle variazioni in ogni singolo intervallino di monotonia.

Si dice dunque che è a variazione limitata e si scrive se .

Si può provare che è a variazione limitata se e solo se si può scrivere come differenza di due funzioni monotone non decrescenti (decomposizione di Jordan). Una possibile decomposizione è ad esempio

in quanto variazione positiva e negativa sono quantità sempre maggiori o uguali a zero, quindi monotone al crescere dell'intervallo. Per lo stesso motivo, nella definizione di , e si poteva prendere equivalentemente l'estremo superiore invece del limite superiore.

Funzioni di più variabili[modifica | modifica wikitesto]

Per funzioni di più variabili si possono dare due definizioni, che risultano equivalenti ( sarà un insieme aperto in ):

  • Una integrabile si dice a variazione limitata, , se esiste una misura di Radon vettoriale finita tale che
,
cioè definisce un funzionale lineare sullo spazio delle funzioni vettoriali a supporto compatto. rappresenta un gradiente debole di .
  • Una integrabile si dice a variazione limitata, , se la sua variazione totale

è finita.

Equivalenza delle definizioni[modifica | modifica wikitesto]

Supponendo sia valida la prima definizione, allora è esattamente la norma del funzionale (visto come operatore lineare continuo) che esiste per ipotesi, dunque è necessariamente finita.

Il viceversa si ottiene dalla disuguaglianza

che implica che è un funzionale lineare continuo sullo spazio , che è un sottospazio lineare di ; tale funzionale si estende allora per linearità e continuità a tutto lo spazio grazie al teorema di Hahn-Banach, quindi definisce una misura di Radon.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

La funzione è a variazione limitata

È già stato dato un esempio di funzione che non è a variazione limitata. La stessa funzione, però, è a variazione limitata in ogni intervallo ad esempio, con , poiché la "singolarità" è presente solo nell'origine. È quindi chiaro come questa sia una proprietà che dipende anche dalla forma del dominio.

Risulta essere a variazione limitata in invece la funzione

Mentre pur essendo uniformemente continua non è variazione limitata la funzione in

perché l'integrale del modulo della derivata diverge.

Un'importante classe di funzioni che risultano essere a variazione limitata sono le funzioni integrabili con derivata a sua volta integrabile, cioè gli elementi dello spazio di Sobolev (in una variabile e su un intervallo limitato, questa classe non è altro che la classe delle funzioni assolutamente continue, a meno di rappresentanti).

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

In una variabile, dalla definizione risulta subito che una funzione BV è in particolare limitata. Inoltre, essa è derivabile quasi ovunque e ammette al più solo discontinuità di prima specie: questo discende dalla decomposizione di Jordan in differenza di due funzioni monotone (le funzioni monotone possiedono le proprietà dette). Risulta anche

con l'uguaglianza valida se e solo se la funzione è assolutamente continua.

Sempre riguardo alla decomposizione di Jordan, e sono le funzioni monotone "minimali" per cui valga la rappresentazione, nel senso che se

,

con e monotone, allora

e .

In generale, lo spazio funzionale è uno spazio vettoriale: risulta essere uno spazio di Banach se munito della norma

Sempre riguardo agli aspetti di analisi funzionale, si dimostra anche che il funzionale variazione è semicontinuo inferiormente rispetto alla norma di , cioè se in norma , allora

.

Per le funzioni BV vale una versione leggermente modificata della regola della catena: se e allora e

dove

è il valor medio della funzione nel punto . Da questo teorema discende anche che il prodotto di due funzioni BV è ancora BV; ciò rende lo spazio un'algebra di Banach.

Osservazione: è possibile dimostrare che il prodotto di due funzioni a variazione limitata è ancora una funzione a variazione limitata senza fare ricorso alle derivate. In questo caso il risultato si estende alle funzioni a variazione limitata da un intervallo [0,T] a uno spazio di Banach X.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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