Teorema di Helly

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In matematica, con teorema di Helly ci si riferisce a più teoremi dovuti a Eduard Helly. Due di essi riguardano l'analisi funzionale e il passaggio al limite sotto il segno di integrale di Stieltjes. Questi due risultati affermano insieme che una successione di funzioni che sia, localmente, a variazione totale limitata e uniformemente limitata in un punto, ammette una sottosuccessione convergente.

In altre parole, si ha un teorema di compattezza per lo spazio delle funzioni a variazione limitata .

Primo teorema di Helly[modifica | modifica wikitesto]

Sia data una successione di funzioni a variazione limitata su un intervallo , convergenti puntualmente a una funzione e tali che le variazioni totali siano uniformemente limitate, ossia esiste tale che:

Allora la funzione limite è a sua volta a variazione limitata, e, per ogni funzione continua si verifica:

Secondo teorema di Helly[modifica | modifica wikitesto]

Da ogni insieme infinito di funzioni date su un intervallo chiuso e limitato , uniformemente limitato nello spazio delle funzioni continue a variazione limitata, si può ricavare una sottosuccessione convergente in ogni punto dell'intervallo .

Generalizzazioni[modifica | modifica wikitesto]

Esistono diverse generalizzazione e varianti del teorema di Helly. Il seguente risultato, valido per funzioni a variazione limitata ambientate in spazi di Banach, si deve a Barbu e Precupanu.

Sia uno spazio di Hilbert riflessivo e separabile, e sia un sottoinsieme convesso di . Detta una funzione omogenea di grado uno definita positiva, si supponga che è una successione uniformemente limitata in con per ogni e . Allora esiste una sottosuccessione e una coppia di funzioni tali che:

per ogni , e:

per ogni .

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) V. Barbu e Precupanu, Th., Convexity and optimization in Banach spaces, Mathematics and its Applications (East European Series), vol. 10, Second Romanian Edition, Dordrecht, D. Reidel Publishing Co., 1986, xviii+397, ISBN 90-277-1761-3.

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