Teorema di Hahn-Banach

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In matematica, in particolare in analisi funzionale, il teorema di Hahn-Banach è un teorema che permette di estendere operatori lineari limitati definiti su un sottospazio di qualche spazio vettoriale a tutto lo spazio, e mostra inoltre che ci sono sufficienti funzionali lineari continui definiti su ogni spazio normato tali da rendere lo studio dello spazio duale interessante. È così chiamato grazie a Hans Hahn e Stefan Banach, che provarono questo teorema indipendentemente l'uno dall'altro negli anni venti.

Il teorema[modifica | modifica wikitesto]

Sia uno spazio vettoriale sul campo (che può essere quello reale o quello complesso ). Una funzione si dice sublineare se:

Ogni seminorma su , ed in particolare ogni norma su , è sublineare.

Si dice inoltre che una funzione è l'estensione di una funzione se il dominio di contiene quello di e le funzioni coincidono in ogni punto del dominio di .

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema di Hahn–Banach afferma che se è una funzione sublineare e è un funzionale lineare su un sottospazio vettoriale e è dominato da su , ovvero:

allora esiste un'estensione lineare di definita sull'intero spazio. In altri termini, esiste un funzionale lineare tale che:[1]

L'estensione non è in generale unicamente determinata da , e la dimostrazione non fornisce un metodo per trovare nel caso di uno spazio a dimensione infinita , ma si appoggia al lemma di Zorn.

La condizione di sublinearità su può essere leggermente indebolita assumendo che:[2]

per tutti gli e in tali che .

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Sia uno spazio vettoriale su e sia una funzione tale che:

Sia un sottospazio di e sia una funzione lineare tale che:

Allora esiste una funzione lineare tale che:

Per dimostrare questo fatto, sia e si consideri il sottospazio di definito nel modo seguente:

Si estende su tutto ponendo:

dove è un numero reale che viene determinato nel seguito. La funzione è una estensione lineare di .

Siano ora e . Si ha:

Pertanto risulta:

e quindi:

Quindi esiste tale che:

Da tale disuguaglianza si evince che:

Si pone quindi:

Per ogni e per ogni risulta:

cioè:

Sia ora l'insieme delle estensioni lineari di tali che per ogni appartenente al dominio di definizione di . Per il punto precedente è un insieme non banale.

Si definisce in una relazione d'ordine dicendo che se il dominio di definizione di è contenuto nel dominio di definizione di e ed coincidono sul dominio di definizione di .

Si consideri un arbitrario sottoinsieme totalmente ordinato di , denotato con , dove è un arbitrario insieme di indici, e sia il dominio di definizione di . Si pone e, dato , si definisce , dove è un qualsiasi indice di tale che . La definizione di è ben posta, ed è una estensione lineare di ogni . Inoltre risulta .

Si deduce che è un limite superiore per . Essendo un arbitrario sottoinsieme totalmente ordinato di il lemma di Zorn implica che esiste un elemento massimale di denotato con . Sia il dominio di definizione di . Se si mostra che , il teorema è provato.

L'insieme è un sottospazio di . Si supponga, per assurdo, che esista . Applicando il primo punto al sottospazio:

si può costruire una estensione non banale di che, per le proprietà dimostrate nel primo punto, contraddice la massimalità di su . Di qui l'assurdo che conclude la dimostrazione.

Conseguenze[modifica | modifica wikitesto]

Esistono alcune importanti conseguenze del teorema che talvolta vengono anch'esse chiamate "teorema di Hahn–Banach":

  • Se è uno spazio normato con sottospazio (non necessariamente chiuso) e se è lineare e continua, allora esiste un'estensione di che è anch'essa lineare e continua e che ha la stessa norma di .
  • Se è uno spazio normato con sottospazio U (non necessariamente chiuso) e se è un elemento di non contenuto nella chiusura di , allora esiste un'applicazione lineare e continua con per ogni , , e .

Il Mizar project ha completamente formalizzato e controllato automaticamente la dimostrazione del teorema di Hahn–Banach nel file HAHNBAN.

Forme geometriche[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema di Hahn-Banach ha due importanti corollari, noti anche come prima e seconda forma geometrica, la cui formulazione richiede alcune nozioni preliminari. Sia uno spazio vettoriale normato su e sia un funzionale lineare continuo non nullo. Dato , l'insieme:

si dice iperpiano in di equazione . Dati due sottoinsiemi di non vuoti e disgiunti, si dice che l'iperpiano separa e se risulta:

e:

Si dice che l'iperpiano separa e in senso stretto se esiste un numero tale che:

e:

Valgono quindi i seguenti corollari del teorema di Hahn-Banach.

Prima forma geometrica del teorema di Hahn-Banach[modifica | modifica wikitesto]

Siano uno spazio vettoriale normato su , due sottoinsiemi non vuoti, convessi e disgiunti di e si supponga che almeno uno di essi sia aperto. Allora esiste un iperpiano di equazione che separa e .

Seconda forma geometrica del teorema di Hahn-Banach[modifica | modifica wikitesto]

Siano uno spazio vettoriale normato su , due sottoinsiemi chiusi non vuoti, convessi e disgiunti di e si supponga che almeno uno di essi sia compatto. Allora esiste un iperpiano di equazione che separa e in senso stretto.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ W. Rudin, Pag. 105
  2. ^ Reed, Simon, Pag. 75

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.
  • (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.
  • (EN) Lawrence Narici, Edward Beckenstein, The Hahn–Banach Theorem: The Life and Times, Topology and its Applications, Volume 77, 2ª edizione (3 giugno 1997) Pagine 193-211. È disponibile un preprint in linea qui

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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