Misura di Radon

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In matematica, una misura di Radon è una misura definita sulla sigma-algebra di uno spazio topologico di Hausdorff che è localmente finita e internamente regolare.

Un problema comune nell'ambito della teoria della misura è quello di trovare una nozione di misura compatibile con la topologia dello spazio topologico in questione. Solitamente per ottenere ciò si definisce una misura sulla sigma-algebra dei boreliani dello spazio, ma questo implica spesso il manifestarsi di alcune difficoltà, come il fatto che la misura può non avere un supporto ben definito. Un approccio alternativo è quello di restringersi a spazi topologici di Hausdorff localmente compatti, e considerare soltanto le misure che corrispondono a funzionali lineari positivi definiti su uno spazio di funzioni continue a supporto compatto. Alcuni autori utilizzano questo caso per la definizione di misura di Radon. In generale, se non vi sono restrizioni a misure non negative e complesse, allora le misure di Radon possono essere definite come costituenti il duale continuo dello spazio delle funzioni continue a supporto compatto.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia una misura sulla σ-algebra formata dagli insiemi di Borel di uno spazio topologico di Hausdorff . La misura è una misura di Radon se, per ogni insieme di Borel , è l'estremo superiore dei valori assunti da rispetto a tutti i sottoinsiemi compatti di (cioè si tratta di una misura internamente regolare) e per ogni punto di esiste un intorno tale per cui è una misura finita, ovvero è una misura localmente finita.

Si definisce spazio di Radon uno spazio metrico separabile tale per cui ogni misura di probabilità di Borel su è internamente regolare. Dal momento che una misura di probabilità è una misura localmente finita, ogni misura di probabilità su uno spazio di Radon è anche una misura di Radon.

Spazi localmente compatti[modifica | modifica wikitesto]

Quando lo spazio di misura è uno spazio topologico localmente compatto la definizione di misura di Radon può essere espressa per mezzo dei funzionali lineari continui sullo spazio delle funzioni continue a supporto compatto. Questo rende possibile sviluppare la teoria della misura e dell'integrazione anche nell'ambito dell'analisi funzionale, in cui si notano somiglianze con la definizione del concetto di distribuzione.

Sia uno spazio topologico localmente compatto. Le funzioni continue a valori reali che hanno supporto compatto definite su formano uno spazio vettoriale , in cui si può definire naturalmente una topologia localmente convessa. Infatti, lo spazio è l'unione degli spazi composti da funzioni continue il cui supporto è contenuto in compatti . Ognuno degli spazi è uno spazio di Banach equipaggiato con la topologia della convergenza uniforme, ma in quanto unione di spazi topologici è un caso particolare di limite diretto di spazi topologici, e pertanto assume la topologia del limite diretto indotta dagli spazi .

Se è una misura di Radon su , la mappa:

è una trasformazione lineare continua e positiva dallo spazio in . Il fatto che sia positiva significa che l'integrale quando è non-negativa, mentre la continuità è intesa rispetto alla topologia del limite diretto, che è equivalente a dire che per ogni sottoinsieme compatto di esiste una costante tale che per ogni funzione continua a valori reali definita su con supporto contenuto in si verifica:

Viceversa, per il teorema di Riesz-Markov, ogni funzionale lineare positivo su può essere definito per mezzo di un'integrazione rispetto alla misura di Radon, ed è quindi un funzionale continuo.

Si definisce inoltre misura di Radon a valori reali un qualsiasi funzionale lineare continuo su , cioè appartenente al duale di . Una misura di Radon a valori reali non è necessariamente una misura con segno.

Per completare la caratterizzazione della teoria della misura per spazi localmente compatti da un punto di vista analitico si devono estendere la misura e l'integrazione per funzioni che non sono continue e aventi supporto compatto. Questo è possibile, in vari passaggi, per le funzioni a valori reali o complessi:

  • inizialmente si definisce l'integrale superiore (ovvero il sup del valore dell'integrale con estremo di integrazione superiore variabile) per funzioni inferiormente semicontinue a partire delle funzioni a supporto compatto come l'estremo superiore dei numeri positivi ;
  • quindi si definisce l'integrale superiore per funzioni positive reali come l'estremo inferiore degli integrali superiori ;
  • si definiscono successivamente lo spazio vettoriale delle funzioni su il cui valore assoluto ha integrale superiore finito, e tale integrale definisce una seminorma sullo spazio, che risulta completo rispetto alla topologia indotta dalla seminorma.
  • Si procede poi con la definizione dello spazio vettoriale delle funzioni integrabili come la chiusura in dello spazio delle funzioni continue a supporto compatto, e dunque con l'introduzione (tramite estensione per continuità) dell'operatore integrale. La misura di un insieme è quindi definita attraverso l'integrale (se esiste) della funzione indicatrice dell'insieme stesso.

Tramite questa procedura si ottiene una teoria identica a quella che definisce le misure di Radon come funzioni che assegnano un numero agli insiemi di Borel dello spazio .

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Sono misure di Radon:

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) L. Ambrosio, N. Fusco, D. Pallara, "Functions of bounded variations and free discontinuity problems". Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 2000. MR1857292Zbl 0957.49001
  • (EN) N. Bourbaki, Elements of mathematics. Integration , Addison-Wesley (1975) pp. Chapt.6;7;8
  • (EN) Ambrosio, L., Gigli, N. & Savaré, G., Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of Probability Measures, Basel, ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, 2005, ISBN 3-7643-2428-7.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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