Funzionale lineare

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, un funzionale lineare o forma lineare è un'applicazione lineare da uno spazio vettoriale nel suo campo di scalari. Può trattarsi di un funzionale inteso come funzione che ha per argomento un'altra funzione, ma non è necessariamente definito sempre così. Il termine "funzionale lineare" è usato specialmente in analisi funzionale, mentre "forma lineare" è più usato in geometria, dove una forma lineare è un particolare esempio di forma multilineare.

L'insieme dei funzionali lineari agenti su uno spazio vettoriale forma a sua volta uno spazio vettoriale, lo spazio duale (spesso denotato anche con o ).

In , se i vettori sono rappresentati come vettori colonna, i funzionali lineari sono vettori riga, che agiscono sui vettori colonna per mezzo di un prodotto scalare (in generale, una forma sesquilineare) o un prodotto matriciale (tra un vettore riga a sinistra e un vettore colonna a destra). Ad esempio, dati i vettori colonna:

allora ogni funzionale lineare può essere scritto in tali coordinate come una somma del tipo:

Si tratta del prodotto matriciale tra il vettore riga e il vettore colonna :

I funzionali lineari sono stati inizialmente introdotti nell'ambito dell'analisi funzionale, in particolare nello studio degli spazi funzionali vettoriali. Un tipico esempio di funzionale lineare è l'operatore integrale di Riemann:

che è definito sullo spazio vettoriale delle funzioni continue sull'intervallo e mappa nel campo dei reali . La linearità si vede da note proprietà degli integrali:

I funzionali lineari sono molto utilizzati in fisica.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia uno spazio vettoriale su un campo . Un funzionale lineare è una funzione lineare da a .[1] Valgono quindi le seguenti relazioni:

Date due funzioni misurabili a valori positivi e , con , per la disuguaglianza di Hölder si ha che . Considerando la funzione , è quindi possibile definire:

per ogni . L'operatore è allora un operatore limitato, la cui norma non è maggiore della q-norma di . Ogni funzionale limitato di può essere scritto in tal modo per un qualche .

L'insieme di tutti i funzionali lineari da in , essendo chiuso rispetto alle operazioni di somma e prodotto per scalare, forma uno spazio vettoriale , lo spazio duale di .[1] Se ha dimensione , allora anche ha dimensione . La mappa che associa ad ogni il corrispondente funzionale lineare definito su è un isomorfismo isometrico di nel duale di .[2]

Se è uno spazio vettoriale sui numeri reali o complessi, ed è dotato di una topologia che lo rende uno spazio vettoriale topologico, risultano particolarmente interessanti i funzionali lineari continui, che formano un sottospazio dello spazio duale detto spazio duale continuo o anche duale topologico. Per distinguerlo dal duale continuo, il generico spazio duale è talvolta detto spazio duale algebrico. In dimensione finita, comunque, il duale algebrico e il duale continuo coincidono poiché ogni funzionale lineare è un operatore lineare continuo. In generale il duale continuo è un sottospazio del duale algebrico. Si usa spesso denotare con il duale algebrico e con il duale continuo, sebbene la notazione sia varia a seconda degli autori.

Si definisce un funzionale lineare positivo un funzionale tale che per ogni puntualmente positiva.[3] Si dimostra che ogni funzionale lineare positivo è continuo.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

  • La funzione data da:
è un funzionale lineare che associa ad ogni vettore dello spazio euclideo la sua prima coordinata.
  • Il funzionale:
associa ad una funzione integrabile , definita sull'intervallo ed a valori nei numeri reali o complessi, l'integrale di tra i due estremi. Qui lo spazio vettoriale può essere ad esempio quello delle funzioni continue sull'intervallo, oppure quello più grande delle funzioni integrabili. In entrambi i casi ha dimensione infinita.
  • Sia lo spazio vettoriale delle funzioni polinomiali a valori reali di grado inferiore a n definite su . Se , sia il funzionale di valutazione:
La mappa è lineare dal momento che:
Se sono n+1 punti sitinti di allora l'insieme dei funzionali forma una base dello spazio duale di .

Basi in dimensione finita[modifica | modifica wikitesto]

Sia una base (qualsiasi) dello spazio vettoriale . Lo spazio duale possiede allora una base , detta base duale, definita dalla proprietà:

In modo più compatto si può scrivere anche:

dove è il delta di Kronecker, ed apici e pedici denotano la covarianza e controvarianza degli indici utilizzati.

Un funzionale lineare può essere espresso come combinazione lineare di funzionali di base, con coefficienti :

Allora, applicando il funzionale al vettore di base si ottiene:

Questa relazione mostra come si può estrarre una singola componente di un funzionale lineare applicando il funzionale al corrispondente vettore di base.

Se possiede un prodotto interno, allora si può scrivere esplicitamente una formula per la base duale di una base data. Se è una base di , la base duale è:

dove è il simbolo di Levi-Civita e il prodotto interno su .

In dimensione maggiore:

dove è l'operatore star di Hodge.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ a b Reed, Simon, Pag. 72
  2. ^ Reed, Simon, Pag. 73
  3. ^ Reed, Simon, Pag. 196

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.
  • (EN) Bishop, Richard; Goldberg, Samuel (1980), "Chapter 4", Tensor Analysis on Manifolds, Dover Publications, ISBN 0-486-64039-6
  • (EN) Halmos, Paul (1974), Finite dimensional vector spaces, Springer, ISBN 0-387-90093-4
  • (EN) Lax, Peter (1996), Linear algebra, Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-11111-5
  • (EN) Misner, Charles W.; Thorne, Kip. S.; Wheeler, John A. (1973), Gravitation, W. H. Freeman, ISBN 0-7167-0344-0
  • (EN) Rudin, Walter (1991), Functional Analysis, McGraw-Hill Science/Engineering/Math, ISBN 978-0-07-054236-5
  • (EN) Schutz, Bernard (1985), "Chapter 3", A first course in general relativity, Cambridge, UK: Cambridge University Press, ISBN 0-521-27703-5

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

Matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica