Disuguaglianza di Hölder

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In matematica la disuguaglianza di Hölder è un risultato basilare di analisi funzionale. Essa si riferisce agli spazi di funzioni noti come spazi Lp.

La disuguaglianza fu provata in una forma leggermente diversa da Leonard James Rogers nel 1888, e riscoperta indipendentemente da Otto Hölder nel 1889, dal quale prende il nome.[1]

La disuguaglianza[modifica | modifica wikitesto]

Sia uno spazio di misura con misura e . Sia l'esponente coniugato di , ovvero quel numero tale che

o equivalentemente tale che

Si definisce inoltre se .

La disuguaglianza afferma che, date due funzioni misurabili e , si ha che e:[2]

Esplicitando la norma p-esima nel caso si ottiene la scrittura

La disuguaglianza coincide con la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz per . Il numero è anche detto coniugato di Hölder di .

Si dimostra che la disuguaglianza diviene un'uguaglianza se e solo se esistono due costanti e , non entrambe nulle, tali che:

quasi ovunque in .

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Se uno dei due fattori del secondo membro (ad esempio ) è zero, allora vuol dire che quasi ovunque; dunque anche quasi ovunque e quindi e il risultato vale con il segno di uguaglianza. Se uno dei due indici (ad esempio ) è , allora è e:

quindi il risultato viene per monotonia dell'integrale di Lebesgue.

Altrimenti, per la disuguaglianza di Young vale che:

per quasi ogni . Integrando entrambi i membri si ottiene:

Disuguaglianza di Hölder per numeri reali[modifica | modifica wikitesto]

Nel caso molto particolare dello spazio euclideo , la disuguaglianza prende la seguente forma:

Dimostrazione alternativa[modifica | modifica wikitesto]

Posti:

e:

la disuguaglianza è:

Dalla concavità della funzione logaritmo si ha:

quindi per monotonia:

Sommando si ottiene la tesi.

Generalizzazione[modifica | modifica wikitesto]

Si può generalizzare il risultato con una tecnica dimostrativa simile, prendendo un numero finito qualsiasi di fattori, con indici opportuni: siano tali che , con:

Allora:

e si ha:

Generalizzazione nei numeri reali[modifica | modifica wikitesto]

Siano m n-uple di numeri reali e siano dei reali tali che:

Allora:

Una conseguenza importante di questa generalizzazione porta ad un primo risultato di immersione tra spazi , la disuguaglianza di interpolazione. Se:

allora per ogni e:

con tale che:

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ (EN) Leonard James Rogers in The MacTutor History of Mathematics, www-history.mcs.st-andrews.ac.uk. URL consultato il 19 giugno 2013.
  2. ^ W. Rudin, Pag. 62

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.
  • Brezis, Analisi funzionale. Teoria e applicazioni, Liguori Editore, 2006, ISBN 978-88-207-1501-4.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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