Regola della catena

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In analisi matematica, la regola della catena è una regola di derivazione che permette di calcolare la derivata della funzione composta di due funzioni derivabili.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

La derivata della funzione composta è il prodotto tra la derivata della funzione esterna, avente come argomento la funzione interna, per la derivata della funzione interna:

Le notazioni e indicano il medesimo significato di derivata.

La formula è valida anche per funzioni di più variabili reali e per funzioni vettoriali. Il teorema di derivazione delle funzioni composte afferma che se:

è un vettore di le cui componenti sono funzioni derivabili:

e se è una funzione differenziabile in , allora la funzione composta:

è differenziabile nella variabile e si ha:

dove è il gradiente di e è il prodotto scalare euclideo standard.

Ad esempio, se è una funzione di due variabili composta dopo la funzione vettoriale , cioè , allora:

Inoltre, se e sono due funzioni vettoriali differenziabili componibili, allora:

dove è la moltiplicazione di matrici e è la matrice jacobiana di .

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Sia, per non appesantire la notazione, , da cui . Definiamo ora

È dunque

.

Inoltre, per l'ipotesi di derivabilità di , è

.

Esaminiamo ora il rapporto incrementale di :

.

Spezzando la frazione, abbiamo

E quindi passando al limite

cvd.

Dimostrazione con "o" piccolo[modifica | modifica wikitesto]

Si considerino due funzioni e la funzione composta allora è possibile scrivere i rapporti incrementali delle funzioni in questo modo:

A questo punto si passa alla riscrittura di tenendo conto che quindi si ha:

Si ricorda che quindi si ha:

Da cui si opera una sostituzione ed e si scrive:

Da qui chiamo ed inoltre

Il teorema è dimostrato

Osservazioni[modifica | modifica wikitesto]

che è utile per fissare mnemonicamente il risultato (come se il si "semplificasse" nelle due frazioni), anche se ovviamente non costituisce una dimostrazione.

  • Applicando la formula iterativamente si può calcolare la derivata di una composizione di tre o più funzioni. Ad esempio:

e così via.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Sia , , . Allora:

e

Derivate successive[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Formula di Faà di Bruno.

L'estensione della formula al calcolo delle derivate successive si deve a Faà di Bruno. In particolare, se possiedono tutte le derivate necessarie, allora risulta:

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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