Regola della catena

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In analisi matematica, la regola della catena è una regola di derivazione che permette di calcolare la derivata della funzione composta di due funzioni derivabili.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

La derivata della funzione composta è il prodotto tra la derivata della funzione esterna, avente come argomento la funzione interna, per la derivata della funzione interna:

Le notazioni e indicano il medesimo significato di derivata.

La formula è valida anche per funzioni di più variabili reali e per funzioni vettoriali. Il teorema di derivazione delle funzioni composte afferma che se:

è un vettore di le cui componenti sono funzioni derivabili

e se è una funzione differenziabile in , allora la funzione composta

è differenziabile nella variabile e si ha:

dove è il gradiente di e è il prodotto scalare euclideo.

Ad esempio, se è una funzione di due variabili composta dopo la funzione vettoriale , cioè , allora:

Inoltre, se e sono due funzioni vettoriali differenziabili componibili, allora:

dove è la moltiplicazione di matrici e è la matrice jacobiana di .

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Sia, per non appesantire la notazione, , da cui . Definiamo ora

È dunque

Inoltre, per l'ipotesi di derivabilità di , è

Esaminiamo ora il rapporto incrementale di :

Spezzando la frazione, abbiamo

E quindi passando al limite

Dimostrazione alternativa[modifica | modifica wikitesto]

Siano e derivabili in ogni punto, dove .

Dalla definizione di derivata si ha

L'idea di fondo è dividere il numeratore del rapporto incrementale per in modo da ottenere il rapporto incrementale di calcolato nel punto , e quindi poter esprimere la derivata della funzione composta in funzione della derivata di calcolata in . Moltiplichiamo e dividiamo (che equivale a moltiplicare per , preservando l'uguaglianza), il secondo membro per :

Per le proprietà associativa e commutativa del prodotto otteniamo:

Poiché per ipotesi e sono derivabili, esistono i limiti dei rapporti incrementali, rispettivamente e , in qualsiasi punto del dominio; ma per questo, dopo aver applicato nel primo limite del rapporto incrementale la sostituzione , il limite del prodotto di quei rapporti incrementali è uguale al prodotto dei loro limiti presi separati:


Dimostrazione con "o" piccolo[modifica | modifica wikitesto]

Si considerino due funzioni e la funzione composta allora è possibile scrivere i rapporti incrementali delle funzioni in questo modo:

A questo punto si passa alla riscrittura di tenendo conto che quindi si ha:

Si ricordi che quindi si ha:

Si effettua la sostituzione e e si scrive:

Si pone e inoltre così il teorema è dimostrato.

Osservazioni[modifica | modifica wikitesto]

poiché , che è utile per fissare mnemonicamente il risultato (come se il si "semplificasse" nelle due frazioni), anche se ovviamente non costituisce una dimostrazione.

  • Applicando la formula iterativamente si può calcolare la derivata di una composizione di tre o più funzioni. Ad esempio:

e così via.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Sia , , . Allora:

e

Derivate successive[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svgLo stesso argomento in dettaglio: Formula di Faà di Bruno.

L'estensione della formula al calcolo delle derivate successive si deve a Faà di Bruno. In particolare, se possiedono tutte le derivate necessarie, allora risulta:

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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