Matrice jacobiana

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In analisi matematica, in particolare nel calcolo vettoriale e nel calcolo infinitesimale, la matrice di Jacobi o matrice jacobiana di una funzione che ha dominio e codominio in uno spazio euclideo è la matrice i cui elementi sono le derivate parziali prime della funzione. Il nome è dovuto a Carl Gustav Jacob Jacobi.

La sua importanza è legata al fatto che, nel caso la funzione sia differenziabile, la jacobiana rappresenta la migliore approssimazione lineare della funzione vicino a un punto dato. In questo senso la jacobiana permette di generalizzare il concetto di derivata estendendo tale nozione alle funzioni vettoriali di variabile vettoriale.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia \mathbf{f}: U \rightarrow \mathbb R^m una funzione definita su un insieme aperto U dello spazio euclideo  \mathbb R^n . La matrice jacobiana della funzione J \, {\mathbf f} in \mathbf x = (x_1, \dots, x_n) è la matrice delle derivate parziali prime della funzione calcolate in \mathbf x:

J \, \mathbf f = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_m}{\partial x_n}  \end{bmatrix}\qquad \operatorname (J \, \mathbf f)_{ij} = \frac{\partial f_i (\mathbf {x})}{\partial x_j}

Risulta quindi il prodotto tensoriale fra l'operatore differenziale vettoriale nabla e la funzione stessa:

\operatorname  J_{j} =\frac{\partial}{\partial x_j} \qquad (J = \nabla)

In particolare, dette:

\{\mathbf e_j\}_{1 \le j \le n} \qquad \{\mathbf u_i\}_{1 \le i \le m}

le basi canoniche di  \mathbb R^n e  \mathbb R^m rispettivamente, il j-esimo vettore colonna della matrice jacobiana è dato da:

\frac{\partial}{\partial x_j} \, ( \mathbf f \cdot \mathbf e_j) = \sum_{i=1}^m \frac{\partial f_i (\mathbf {x})}{\partial x_j} \cdot \mathbf u_i

dove il punto denota il prodotto scalare.

La jacobiana non è tuttavia una semplice rappresentazione matriciale delle derivate parziali. La funzione \mathbf f è detta differenziabile in un punto \mathbf x' del dominio se esiste una applicazione lineare \mathbf{L}:\mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^m tale che valga l'approssimazione:[1]

\mathbf{f}(\mathbf x' + \Delta\mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf x') = \mathbf{L}(\mathbf x')\Delta\mathbf{x} + \mathbf r(\Delta \mathbf{x})

dove il resto \mathbf r(\Delta\mathbf{x}) si annulla all'annullarsi dell'incremento \Delta\mathbf{x}. Se la funzione \mathbf{f} è differenziabile in \mathbf x', allora tutte le derivate parziali calcolate nel punto esistono. La jacobiana J_{\mathbf f(\mathbf x')} di f in \mathbf x' è la matrice associata all'applicazione lineare \mathbf L(\mathbf x') rispetto alle basi canoniche di  \mathbb R^n e  \mathbb R^m :[2]

\mathbf{L}(\mathbf x')\Delta\mathbf{x} = J \, {\mathbf f(\mathbf x')} \cdot \Delta\mathbf{x} = \sum_{i=1}^m \left[ \sum_{j=1}^n \frac{\partial f_i (\mathbf x')}{\partial x_j} \Delta x_j \right] \cdot \mathbf u_i = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_m}{\partial x_n}  \end{bmatrix} \cdot \Delta \mathbf{x}

La jacobiana estende così il concetto di derivata di una funzione reale (complessa) in una (due) variabili al caso di una funzione definita in \R^n.

Casi notevoli[modifica | modifica wikitesto]

A seconda delle dimensioni  m e  n , la jacobiana ha diverse interpretazioni geometriche:

  • Se  m = 1 , la jacobiana si riduce a un vettore n-dimensionale, chiamato gradiente di f in \mathbf x. In tal caso si ha:
 L(\mathbf x ) = \nabla f = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f (\mathbf {x})}{\partial x_j} \cdot \mathbf e_i
Il gradiente indica la direzione di "massima pendenza" del grafico della funzione nel punto.
  • Se  n = 1 , la funzione f parametrizza una curva in \mathbb R^m, il suo differenziale è una funzione che definisce la direzione della retta tangente alla curva nel punto.
  • Se  m = n = 1 , la condizione di differenziabilità coincide con la condizione di derivabilità. La matrice jacobiana si riduce a un numero, pari alla derivata.

Diverse combinazioni lineari di derivate parziali risultano molto importanti nell'ambito delle equazioni differenziali che coinvolgono una funzione vettoriale da \R^n in sé. In particolare, la divergenza è un campo scalare che misura la tendenza di un campo vettoriale a divergere o a convergere verso un punto dello spazio, e consente di calcolare il flusso del campo attraverso il teorema della divergenza. Il rotore di un campo vettoriale, inoltre, ne descrive la rotazione infinitesima associando a ogni punto dello spazio un vettore. Tale vettore è allineato con l'asse di rotazione, il suo verso è coerente con quello della rotazione secondo la regola della mano destra e la sua lunghezza quantifica l'entità della rotazione.

Jacobiano[modifica | modifica wikitesto]

Se m = n, allora f è una funzione dallo spazio n-dimensionale in sé e la jacobiana è una matrice quadrata. Si può in tal caso calcolare il suo determinante, noto come jacobiano.

Lo jacobiano in un dato punto fornisce importanti informazioni circa il comportamento di f nell'intorno del punto. Per esempio, una funzione f differenziabile con continuità è invertibile vicino a \mathbf x' se lo jacobiano in \mathbf x' è non nullo, come stabilisce il teorema della funzione inversa. Inoltre, se lo jacobiano in \mathbf x' è positivo f preserva l'orientazione vicino a \mathbf x', mentre se il determinante è negativo f inverte l'orientazione.

Il valore assoluto dello jacobiano in \mathbf x' fornisce il fattore del quale la funzione f espande o riduce i volumi vicino a \mathbf x': per questo motivo esso compare nella generale regola di sostituzione.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Lo jacobiano della funzione  f: \R^3 \to \R^3 con componenti:

f_1 = 5\cdot x_2
f_2 = 4\cdot x_1^2 - 2 \cdot \sin(x_2 \cdot x_3)
f_3 = x_2 \cdot x_3

è:

\begin{vmatrix} 0 & 5 & 0 \\ 8x_1 & -2x_3\cos(x_2 x_3) & -2x_2\cos(x_2 x_3) \\ 0 & x_3 & x_2 \end{vmatrix}=-8x_1\cdot\begin{vmatrix} 5 & 0\\ x_3&x_2\end{vmatrix}=-40x_1 x_2

Da questo si vede che f inverte l'orientazione vicino a quei punti dove x_1 e x_2 hanno lo stesso segno. La funzione è localmente invertibile ovunque eccetto i punti caratterizzati da x_1 = 0 e da x_2 = 0. Se si inizia con un piccolo volume in un intorno del punto (1,1,1) e si applica f a tale volume, si ottiene un volume 40 volte superiore all'originale.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ W. Rudin, Pag. 213
  2. ^ W. Rudin, Pag. 217

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1.
  • F.R. Gantmakher, M.G. Krein, Oscillation matrices and kernels and small vibrations of mechanical systems, Dept. Commerce USA. Joint Publ. Service (1961)

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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