Matrice jacobiana

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In analisi matematica, in particolare nel calcolo vettoriale e nel calcolo infinitesimale, la matrice di Jacobi o matrice jacobiana di una funzione che ha dominio e codominio in uno spazio euclideo è la matrice i cui elementi sono le derivate parziali prime della funzione. Il nome è dovuto a Carl Gustav Jacob Jacobi.

La sua importanza è legata al fatto che, nel caso la funzione sia differenziabile, la jacobiana rappresenta la migliore approssimazione lineare della funzione vicino a un punto dato. In questo senso la jacobiana permette di generalizzare il concetto di derivata estendendo tale nozione alle funzioni vettoriali di variabile vettoriale.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia una funzione definita su un insieme aperto dello spazio euclideo . La matrice jacobiana della funzione in è la matrice delle derivate parziali prime della funzione calcolate in :

Risulta quindi il prodotto tensoriale fra l'operatore differenziale vettoriale nabla e la funzione stessa:

In particolare, dette:

le basi canoniche di e rispettivamente, il j-esimo vettore colonna della matrice jacobiana è dato da:

dove il punto denota il prodotto scalare.

La jacobiana non è tuttavia una semplice rappresentazione matriciale delle derivate parziali. La funzione è detta differenziabile in un punto del dominio se esiste una applicazione lineare tale che valga l'approssimazione:[1]

dove il resto si annulla all'annullarsi dell'incremento . Se la funzione è differenziabile in , allora tutte le derivate parziali calcolate nel punto esistono. La jacobiana di in è la matrice associata all'applicazione lineare rispetto alle basi canoniche di e :[2]

La jacobiana estende così il concetto di derivata di una funzione reale (complessa) in una (due) variabili al caso di una funzione definita in .

Casi notevoli[modifica | modifica wikitesto]

A seconda delle dimensioni e , la jacobiana ha diverse interpretazioni geometriche:

  • Se , la jacobiana si riduce a un vettore -dimensionale, chiamato gradiente di in . In tal caso si ha:
Il gradiente indica la direzione di "massima pendenza" del grafico della funzione nel punto.
  • Se , la funzione parametrizza una curva in , il suo differenziale è una funzione che definisce la direzione della retta tangente alla curva nel punto.
  • Se , la condizione di differenziabilità coincide con la condizione di derivabilità. La matrice jacobiana si riduce a un numero, cioè la derivata.

Diverse combinazioni lineari di derivate parziali risultano molto importanti nell'ambito delle equazioni differenziali che coinvolgono una funzione vettoriale da in sé. In particolare, la divergenza è un campo scalare che misura la tendenza di un campo vettoriale a divergere o a convergere verso un punto dello spazio, e consente di calcolare il flusso del campo attraverso il teorema della divergenza. Il rotore di un campo vettoriale, inoltre, ne descrive la rotazione infinitesima associando a ogni punto dello spazio un vettore. Tale vettore è allineato con l'asse di rotazione, il suo verso è coerente con quello della rotazione secondo la regola della mano destra e la sua lunghezza quantifica l'entità della rotazione.

Jacobiano[modifica | modifica wikitesto]

Se , allora è una funzione dallo spazio -dimensionale in sé e la jacobiana è una matrice quadrata. Si può in tal caso calcolare il suo determinante, noto come jacobiano.

Lo jacobiano in un dato punto fornisce importanti informazioni circa il comportamento di nell'intorno del punto. Per esempio, una funzione differenziabile con continuità è invertibile vicino a se lo jacobiano in è non nullo, come stabilisce il teorema della funzione inversa. Inoltre, se lo jacobiano in è positivo preserva l'orientazione vicino a , mentre se il determinante è negativo inverte l'orientazione.

Il valore assoluto dello jacobiano in fornisce il fattore del quale la funzione espande o riduce i volumi vicino a : per questo motivo esso compare nella generale regola di sostituzione.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Lo jacobiano della funzione con componenti:

è:

Da questo si vede che inverte l'orientazione vicino a quei punti dove e hanno lo stesso segno. La funzione è localmente invertibile ovunque eccetto i punti caratterizzati da e da . Se si inizia con un piccolo volume in un intorno del punto e si applica a tale volume, si ottiene un volume 40 volte superiore all'originale.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ W. Rudin, Pag. 213
  2. ^ W. Rudin, Pag. 217

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1.
  • F.R. Gantmakher, M.G. Krein, Oscillation matrices and kernels and small vibrations of mechanical systems, Dept. Commerce USA. Joint Publ. Service (1961)

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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