Funzione a supporto compatto

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In matematica, una funzione a valori reali o complessi definita su un dominio di (o, più in generale, in uno spazio topologico) si dice funzione a supporto compatto se ha per supporto un sottoinsieme compatto dell'insieme di definizione (il supporto è definito come la chiusura dell'insieme dei punti del dominio in cui la funzione non si annulla).

Rivestono particolare importanza le funzioni a supporto compatto che sono anche continue o infinitamente differenziabili: in tal caso si restringe il campo ad una classe molto ristretta di funzioni, dette funzioni di test, che vengono usate principalmente nella teoria delle distribuzioni.

Dal teorema di Heine-Borel e dalla definizione di supporto di una funzione segue che una funzione è a supporto compatto se è diversa da 0 in un insieme chiuso e limitato di punti.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Una funzione definita su uno spazio topologico si dice essere a supporto compatto se il suo supporto:

è un sottoinsieme compatto di , ovvero per ogni famiglia di sottoinsiemi aperti di tale che:

esiste un sottoinsieme finito di tale che:[1]

Un'importante classe di funzioni a supporto compatto è quella delle funzioni test. Lo spazio delle funzioni test sul dominio di è chiamato , mentre lo spazio delle funzioni test su è denotato con , ove non sia necessario specificare il numero di variabili.

È da notare che una funzione a supporto compatto in un dato dominio di può essere prolungata in modo naturale ad una funzione a supporto compatto su tutto semplicemente assegnando il valore 0 a tutti i punti al di fuori del dominio originario. In questo modo è possibile pensare ad una funzione in come avente dominio in , e quindi se si ha anche .

Le funzioni continue a supporto compatto[modifica | modifica wikitesto]

Una classe particolarmente importante di funzioni a supporto compatto è quella delle funzioni che sono anche continue. Si dimostra che lo spazio delle funzioni continue a supporto compatto su uno spazio di Hausdorff localmente compatto e a valori complessi è denso in uno spazio Lp definito su uno spazio di misura, a patto che .[2] Tale classe di funzioni gode inoltre della proprietà che due funzioni in differiscono soltanto per insiemi di misura di Lebesgue non nulla, e pertanto se sono uguali quasi ovunque allora sono uguali. Inoltre, facendo coincidere con lo spazio , poiché è completo, esso è il completamento dello spazio ottenuto dotando della -metrica. Nel caso in cui , il completamento di tramite la -metrica è lo spazio delle funzioni continue che si annullano all'infinito.[3]

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Le funzioni a supporto compatto godono inoltre delle seguenti proprietà:

ha sempre valore finito.
In altre parole, nell'eseguire l'integrazione per parti con una funzione test, i termini di bordo si annullano.
  • La somma o il prodotto di due funzioni a supporto compatto è ancora a supporto compatto.

Convergenza[modifica | modifica wikitesto]

Lo spazio può essere munito di una struttura di spazio topologico definendo un criterio di convergenza per le successioni. Una successione di funzioni di converge a una funzione se il supporto di è contenuto nel supporto di , e se le derivate di ogni ordine di convergono uniformemente alle corrispondenti derivate di .

Si tratta di una condizione molto forte di convergenza. Infatti, una successione convergente in è anche puntualmente convergente, uniformemente convergente e convergente nello spazio delle funzioni p-sommabili per ogni .

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

  • Un esempio di funzione a supporto compatto è la funzione a campana:
definita su tutto .
La funzione ha supporto nel disco chiuso di raggio 1 centrato nello 0, è infinitamente derivabile e si annulla con tutte le sue derivate per .
La funzione Ω in dimensione 1
  • Una stretta parente della funzione a campana è data, , da:
dove è una costante reale positiva scelta in modo da avere:
La funzione gode delle stesse proprietà della campana, salvo che ha supporto nel disco chiuso di raggio . Si può dimostrare che le sono approssimanti della delta, nel senso che, presa una funzione continua nello 0, vale .
  • Un'importante funzione a supporto compatto in una variabile si ottiene dalla convoluzione di con la funzione caratteristica , che vale 1 per e 0 altrimenti. Si ha quindi, per ogni :
Si vede che, per questa funzione, vale:
quindi, per puntualmente.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ W. Rudin, Pag. 35
  2. ^ W. Rudin, Pag. 68
  3. ^ W. Rudin, Pag. 69

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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